Функция Эйри

График функций Шаблон:Big (красный цвет) и Шаблон:Big (синий цвет)

Фу́нкция Э́йри — частное решение дифференциального уравнения

$y^{″}-xy=0,$

называемого уравнением Эйри (впервые рассмотрено и исследовано в 1838 году британским астрономом Джорджем Бидделем Эйри). Это — простейшее дифференциальное уравнение, имеющее на действительной оси точку, в которой вид решения меняется с колеблющегося на экспоненциальный.

Обычно термин «функция Эйри» применяется к двум специальным функциям — функции Эйри 1-го рода $\mathrm{Ai}(x)$ (которая при $x\to -\mathrm{\infty }$ имеет колебательное поведение с постепенным уменьшением амплитуды колебаний, а при $x\to +\mathrm{\infty }$ монотонно убывает по экспоненциальному закону) и функции Эйри 2-го рода $\mathrm{Bi}(x)$ (которая при $x\to -\mathrm{\infty }$ также колеблется с постепенным уменьшением амплитуды колебаний, а при $x\to +\mathrm{\infty }$ монотонно растёт по экспоненциальному закону); остальные частные решения уравнения Эйри представимы как линейные комбинации двух данных функцийШаблон:Sfn. Обозначение Шаблон:Big для первой из этих функций предложил в 1928 году Гарольд Джеффрис, использовавший первые две буквы фамилии Эйри (Шаблон:Lang-en). В 1946 году Шаблон:Нп5 добавил обозначение Шаблон:Big для функции Эйри 2-го рода, также ставшее стандартным.

В. А. Фок предложил для обозначения функций Шаблон:Big и Шаблон:Big символы U и V соответственно.

Функция Эйри является решением уравнения Шрёдингера для частицы в треугольной потенциальной яме.

Определение

Для действительных $x$ функция Эйри 1-го рода определяется следующим несобственным интегралом:

$\mathrm{Ai}(x)=\frac{1}{\pi }\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\cos (\frac{t^3}{3}+xt)dt,$

Файл:Airy function.png

Контуры интегрирования при вычислении Шаблон:Big

Выполняя дифференцирование под знаком интеграла, убеждаемся, что полученная функция действительно удовлетворяет уравнению Эйри

$y^{″}-xy=0.$

Другим линейно независимым частным решением данного уравнения является функция Эйри 2-го рода $\mathrm{Bi}(x),$ у которой при $x\to -\mathrm{\infty }$ колебания имеют ту же амплитуду, что и у $\mathrm{Ai}(x),$ но отличаются по фазе на $\pi /2$Шаблон:Sfn. Для действительных $x$ функция Эйри 2-го рода выражается интегралом:

$\mathrm{Bi}(x)=\frac{1}{\pi }\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}[\exp (-\frac{t^3}{3}+xt)+\sin (\frac{t^3}{3}+xt)]dt.$

Для комплексных $z$ функция Эйри $\mathrm{Ai}(z)$ определяется следующим образом:

$\mathrm{Ai}(z)=\underset{{\gamma }_1}{\int }\exp (pz-\frac{p^3}{3})dp,$

где контур ${\gamma }_1$ представлен на рисункеШаблон:Sfn. Контуры ${\gamma }_2$ и ${\gamma }_3$ также дают решение уравнения Эйри. Несмотря на то, что существуют три контура интегрирования, линейно независимых решений уравнения Эйри остается по-прежнему два, так как сумма интегралов по этим трём контурам равна нулю.

Функция $\mathrm{Bi}(z)$ при произвольном комплексном $z$ связана с функцией Эйри 1-го рода соотношением:

$\mathrm{Bi}(z)=i{\omega }^2\mathrm{Ai}({\omega }^{2}z)-i\omega \mathrm{Ai}(\omega z),\omega =e^{2\pi i/3}.$

Свойства

В точке $x=0$ функции $\mathrm{Ai}(x)$ и $\mathrm{Bi}(x)$ и их первые производные имеют такие значения:

$\begin{array}{cc}\mathrm{Ai}(0)=\frac{1}{3^{2/3}\mathrm{\Gamma }\left(\frac{2}{3}\right)}\approx 0,355028053887817,& {\mathrm{Ai}}^{\prime }(0)=-\frac{1}{3^{1/3}\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{3}\right)}\approx -0,258819403792807,\\ \mathrm{Bi}(0)=\frac{1}{3^{1/6}\mathrm{\Gamma }\left(\frac{2}{3}\right)}=\mathrm{Ai}(0)\sqrt{3},& {\mathrm{Bi}}^{\prime }(0)=\frac{3^{1/6}}{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{3}\right)}=-{\mathrm{Ai}}^{\prime }(0)\sqrt{3}.\end{array}$

где $\mathrm{\Gamma }$ — гамма-функцияШаблон:Sfn. Отсюда следует, что при $x=0$ вронскиан функций $\mathrm{Ai}(x)$ и $\mathrm{Bi}(x)$ равен $1/\pi$.

При положительных $x$ $\mathrm{Ai}(x)$ — положительная выпуклая функция, убывающая экспоненциально к 0, а $\mathrm{Bi}(x)$ — положительная выпуклая функция, возрастающая экспоненциально. При отрицательных $x$ $\mathrm{Ai}(x)$ и $\mathrm{Bi}(x)$ колеблются вокруг нуля с возрастающей частотой и убывающей амплитудой. Это подтверждается асимптотическими выражениями для функций Эйри.

Асимптотические выражения

При $x,$ стремящемся к $+\mathrm{\infty }$Шаблон:Sfn:

$\begin{array}{cc}\mathrm{A}\mathrm{i}(x)& \sim \frac{e^{-\frac{2}{3}{x}^{3/2}}}{2\sqrt{\pi }{x}^{1/4}}\\ \mathrm{B}\mathrm{i}(x)& \sim \frac{e^{\frac{2}{3}{x}^{3/2}}}{\sqrt{\pi }{x}^{1/4}}.\end{array}$

$\begin{array}{cc}\mathrm{A}\mathrm{i}(-x)& \sim \frac{\sin (\frac{2}{3}{x}^{3/2}+\frac{1}{4}\pi )}{\sqrt{\pi }{x}^{1/4}}\\ \mathrm{B}\mathrm{i}(-x)& \sim \frac{\cos (\frac{2}{3}{x}^{3/2}+\frac{1}{4}\pi )}{\sqrt{\pi }{x}^{1/4}}.\end{array}$

Комплексный аргумент

Функция Эйри может быть продолжена на комплексную плоскость по формуле

$\mathrm{A}\mathrm{i}(z)=\frac{1}{2\pi i}\underset{C}{\int }\exp (\frac{t^3}{3}-zt)dt,$

где интеграл берётся по контуру $C,$ начинающемуся в точке на бесконечности с аргументом $-\frac{\pi }{3}$ и заканчивающимся в точке на бесконечности с аргументом $\frac{\pi }{3}$. Можно пойти с другой стороны, используя дифференциальное уравнение $y^{″}-xy=0$ для продолжения $\mathrm{A}\mathrm{i}(x)$ и $\mathrm{B}\mathrm{i}(x)$ до целых функций на комплексной плоскости.

Асимптотическая формула для $\mathrm{A}\mathrm{i}(x)$ остаётся в силе на комплексной плоскости, если брать главное значение $x^{2/3}$ и $x$ не лежит на отрицательной действительной полуоси. Формула для $\mathrm{B}\mathrm{i}(x)$ верна, если Шаблон:Big лежит в секторе $\{x\in ℂ:|\text{arg}x|<\frac{\pi -\delta }{3}\}$ для некоторого положительного Шаблон:Big. Формулы для $\mathrm{A}\mathrm{i}(-x)$ и $\mathrm{B}\mathrm{i}(-x)$ верны, если Шаблон:Big лежит в секторе $\{x\in ℂ:|\text{arg}x|<\frac{2(\pi -\delta )}{3}\}$.

Из асимптотического поведения функций Эйри 1-го и 2-го рода следует, что они обе имеют бесконечно много нулей на отрицательной вещественной полуоси. У функции $\mathrm{A}\mathrm{i}(x)$ на комплексной плоскости нет других нулей, а функция $\mathrm{B}\mathrm{i}(x)$ имеет бесконечно много нулей в секторе $\{z\in ℂ:\frac{\pi }{3}<|\text{arg}z|<\frac{\pi }{2}\}$.

Связь с другими специальными функциями

Для положительных значений аргумента функции Эйри связаны с модифицированными функциями Бесселя:

$\begin{array}{c}\mathrm{A}\mathrm{i}(x)=\frac{1}{\pi }\sqrt{\frac{1}{3}x}{K}_{1/3}\left(\frac{2}{3}{x}^{3/2}\right),\\ \mathrm{B}\mathrm{i}(x)=\sqrt{\frac{1}{3}x}(I_{1/3}\left(\frac{2}{3}{x}^{3/2}\right)+I_{-1/3}\left(\frac{2}{3}{x}^{3/2}\right)).\end{array}$

где Шаблон:Big и Шаблон:Big — решения уравнения $x^2{y}^{″}+x{y}^{\prime }-(x^2+1/9)y=0$.

Для отрицательных значений аргумента функции Эйри связаны с функциями Бесселя:

$\begin{array}{c}\mathrm{A}\mathrm{i}(-x)=\frac{1}{3}\sqrt{x}(J_{1/3}\left(\frac{2}{3}{x}^{3/2}\right)+J_{-1/3}\left(\frac{2}{3}{x}^{3/2}\right)),\\ \mathrm{B}\mathrm{i}(-x)=\sqrt{\frac{1}{3}x}(J_{-1/3}\left(\frac{2}{3}{x}^{3/2}\right)-J_{1/3}\left(\frac{2}{3}{x}^{3/2}\right)).\end{array}$

где Шаблон:Big — решения уравнения $x^2{y}^{″}+x{y}^{\prime }+(x^2-1/9)y=0$.

Функции Скорера являются решениями уравнения $y^{″}-xy=1/\pi .$ Они также могут быть выражены через функции Эйри:

$\begin{array}{c}\mathrm{G}\mathrm{i}(x)=\mathrm{B}\mathrm{i}(x)\underset{x}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\mathrm{A}\mathrm{i}(t)dt+\mathrm{A}\mathrm{i}(x)\underset{0}{\overset{x}{\int }}\mathrm{B}\mathrm{i}(t)dt,\\ \mathrm{H}\mathrm{i}(x)=\mathrm{B}\mathrm{i}(x)\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x}{\int }}\mathrm{A}\mathrm{i}(t)dt-\mathrm{A}\mathrm{i}(x)\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x}{\int }}\mathrm{B}\mathrm{i}(t)dt.\end{array}$

См. также

• Луч Эйри

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга — P. 379—402.
• Шаблон:КнигаШаблон:Недоступная ссылка  (See § 10.4).
• Шаблон:Книга — P. 392—434.

Ссылки

• Шаблон:MathWorld
• Шаблон:Недоступная ссылкаChapter AI: Airy and related functions in the Digital library of mathematical functions.