Функции Скорера

Графики функций Gi и Hi

Функции Скорера (присоединённые функции Эйри) — специальные функции, введённые Р. Скорером в 1950 году. Через них можно представить частные решения неоднородного дифференциального уравнения Эйри:

$w^{″}-zw=\frac{1}{\pi }$

Частными решениями этого уравнения являются функции: $-\mathrm{G}\mathrm{i}(z)$, $\mathrm{H}\mathrm{i}(z)$ и $\mathrm{H}\mathrm{i}(z{e}^{\mp \frac{2\pi i}{3}})e^{\mp \frac{2\pi i}{3}}$.

Интегральное выражение

Функции Скорера можно представить через неберущиеся интегралы:

$\begin{array}{cc}\mathrm{G}\mathrm{i}(z)& =-\frac{1}{\pi }\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\exp (-\frac{t^3}{3}-\frac{zt}{2})\cos (\frac{\sqrt{3}}{2}zt+\frac{2\pi }{3})dt,\\ \mathrm{H}\mathrm{i}(z)& =\frac{1}{\pi }\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\exp (-\frac{t^3}{3}+zt)dt.\end{array}$

Для действительного аргумента:

$\begin{array}{cc}\mathrm{G}\mathrm{i}(x)& =\frac{1}{\pi }\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\sin (\frac{t^3}{3}+xt)dt,\\ \mathrm{H}\mathrm{i}(x)& =\frac{1}{\pi }\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\exp (-\frac{t^3}{3}+xt)dt.\end{array}$

Связь с функциями Эйри

Также функции Скорера могут быть выражены через функции Эйри:

$\begin{array}{cc}\mathrm{G}\mathrm{i}(z)& =\mathrm{B}\mathrm{i}(z)\underset{z}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\mathrm{A}\mathrm{i}(t)dt+\mathrm{A}\mathrm{i}(z)\underset{0}{\overset{z}{\int }}\mathrm{B}\mathrm{i}(t)dt,\\ \mathrm{H}\mathrm{i}(z)& =\mathrm{B}\mathrm{i}(z)\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{z}{\int }}\mathrm{A}\mathrm{i}(t)dt-\mathrm{A}\mathrm{i}(z)\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{z}{\int }}\mathrm{B}\mathrm{i}(t)dt.\end{array}$

Откуда, очевидно:

$\mathrm{G}\mathrm{i}(z)+\mathrm{H}\mathrm{i}(z)=\mathrm{B}\mathrm{i}(z).$

Разложение в ряд

Разложения функций Скорера в ряд Маклорена имеют следующий вид:

$\begin{array}{cc}\mathrm{G}\mathrm{i}(z)& =\frac{3^{-\frac{2}{3}}}{\pi }\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\cos \left(\frac{2k-1}{3}\pi \right)\mathrm{\Gamma }\left(\frac{k+1}{3}\right)\frac{3^{\frac{k}{3}}{z}^k}{k!},\\ \mathrm{H}\mathrm{i}(z)& =\frac{3^{-\frac{2}{3}}}{\pi }\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\mathrm{\Gamma }\left(\frac{k+1}{3}\right)\frac{3^{\frac{k}{3}}{z}^k}{k!}.\end{array}$

Литература

• Large-time behavior of solutions of linear dispersive equations