Треугольная квантовая яма

Рис.1. Треугольная квантовая яма. Красным цветом показаны волновые функции для соответствующих значений энергии.

Треуго́льная ква́нтовая я́ма — одномерная потенциальная яма, ограниченная с одной стороны бесконечно высокой потенциальной стенкой, а с другой — потенциалом, линейно растущим с увеличением координаты. Один из простых профилей потенциала в квантовой механике, допускающих точное решение задачи о нахождении уровней энергии и волновых функций находящейся в яме частицы. Модель треугольной ямы используется, в частности, при исследованиях систем с двумерным электронным газом.

Модель потенциальной ямы

Одномерная треугольная потенциальная яма ограничена с одной стороны бесконечно высокой потенциальной стенкой ($U(x)\to +\mathrm{\infty }$ при $-\mathrm{\infty }<x⩽0$), а с другой — линейно растущим наклонным потенциалом $0<U\left(x\right)=Fx<+\mathrm{\infty }$ при $0<x<+\mathrm{\infty }$ (см. рис.1). Такой вид потенциальной энергии $U(x)$ соответствует однородному полю, действующему на частицу с силой $-F=dU/dx$, не зависящей от координатыШаблон:Sfn. Примерами таких полей являются однородное электрическое поле $U\left(x\right)=q{E}_{el}x\ge 0$ ($q$ — заряд частицы, $E_{el}$ — напряженность электрического поля) и гравитационное поле тяжести $U\left(x\right)=mgx$ ($m$ — масса частицы, $g$ —ускорение свободного падения).

Решение уравнения Шрёдингера

Уравнения Шрёдингера и граничные условия

Уравнение Шрёдингера для частицы в однородном поле имеет видШаблон:Sfn:

$\frac{d^2\psi }{d{x}^2}+\frac{2m}{\hslash {}^2}(E-Fx)\psi =0.$

Граничные условия описывают абсолютно упругое отражение от потенциальной стенки при $x=0$ и убывание решения в классически недоступной области $Fx>E$ при $x\to +\mathrm{\infty }$:

$\psi (x=0)=0,\psi (x\to +\mathrm{\infty })\to 0.$

Здесь $m$ — масса частицы, $\hslash$ — редуцированная постоянная Планка, $E$ и $\psi$ — искомые энергия и волновая функция частицы.

Замена переменной

Для упрощения дальнейшего рассмотрения вводится безразмерная переменнаяШаблон:Sfn

$\xi =\alpha (x-\frac{E}{F}),$

где $\alpha ={\left(\frac{2mF}{\hslash {}^2}\right)}^{1/3}$. При использовании новой переменной задача сводится к решению уравнения Эйри

${\psi }^{″}(\xi )-\xi \psi (\xi )=0$

с граничными условиями

$\psi (-\alpha \frac{E}{F})=0,\psi (\xi \to +\mathrm{\infty })\to 0.$

Общее решение уравнения Шрёдингера

Общее решение уравнения Эйри имеет вид:

$\psi (\xi )=C\mathrm{A}\mathrm{i}(\xi )+D\mathrm{B}\mathrm{i}(\xi ),$

где $\mathrm{A}\mathrm{i}$ и $\mathrm{B}\mathrm{i}$ — функции Эйри 1-го и 2-го рода имеют при больших $\xi \to +\mathrm{\infty }$ следующие асимптотикиШаблон:Sfn

$\begin{array}{cc}\mathrm{A}\mathrm{i}(\xi )& \sim \frac{e^{-\frac{2}{3}{\xi }^{3/2}}}{2\sqrt{\pi }{\xi }^{1/4}},\\ \mathrm{B}\mathrm{i}(\xi )& \sim \frac{e^{\frac{2}{3}{\xi }^{3/2}}}{\sqrt{\pi }{\xi }^{1/4}}.\end{array}$

При отрицательных значениях $\xi$ функции Эйри осциллируют и имеют бесконечное число нулей. Из граничного условия на бесконечности $\xi \to +\mathrm{\infty }$ и экспоненциального роста $\mathrm{B}\mathrm{i}(\xi \to +\mathrm{\infty })$ следует, что константа $D=0$ , то есть решение задачи следует искать в виде

$\psi (\xi )=C\mathrm{A}\mathrm{i}(\xi ).$

Дискретные уровни энергии

Собственные значения энергии частицы $E=E_n$ ($n=1,2,..$) в треугольной яме определяются из условия обращения в нуль волновой функции на границе бесконечной потенциальной стенки:

${\psi }_n({\xi }_n=-\alpha \frac{E_n}{F})=C_n\mathrm{A}\mathrm{i}(-\alpha \frac{E_n}{F})=0,$

где ${\xi }_n=-a_n$ — нули функции Эйри. В результате находим дискретный спектр энергий,

$E_n=\frac{F{a}_n}{\alpha }=\frac{{\hslash }^2{\alpha }^2{a}_n}{2m},$

а соответствующая дискретному уровню $E_n$волновая функция имеет вид:

${\psi }_n\left(x\right)=C_n\mathrm{A}\mathrm{i}(\alpha x-a_n).$

Для первых пяти нулей значения $a_n$ приближённо равны: $a_1=2,338$, $a_2=4,088$, $a_3=5,521$, $a_4=6,787$, $a_5=7,944$. При больших $n\gg 1$ нули функций Эйри определяются выражением:

$a_n\approx {\left[\frac{3\pi }{2}(n-\frac{1}{4})\right]}^{2/3}.$

Нормировка волновой функции

Значения констант $C_n$ находятся из условия нормировкиШаблон:Sfn

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dx{\left|{\psi }_n\left(x\right)\right|}^2=1.$

Вычисляя интеграл от квадрата волновой функции, которая вещественнаШаблон:Sfn,

$\begin{array}{cc}& C_n^2{\alpha }^{-1}\underset{-a_n}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}d\xi {\mathrm{A}\mathrm{i}}^2\left(\xi \right)=\\ & C_n^2{\alpha }^{-1}{[\xi {\mathrm{A}\mathrm{i}}^2\left(\xi \right)-{\left({\mathrm{A}\mathrm{i}}^{\prime }\left(\xi \right)\right)}^2]}_{\xi =-a_n}^{\mathrm{\infty }}=\\ & C_n^2{\alpha }^{-1}{\left({\mathrm{A}\mathrm{i}}^{\prime }(-a_n)\right)}^2=1,\\ \end{array}$

находим нормировочные константы, которые зависят от номера квантового уровня:

$C_n=\frac{{\alpha }^{1/2}}{{\mathrm{A}\mathrm{i}}^{\prime }(-a_n)},$

где ${\mathrm{A}\mathrm{i}}^{\prime }(\xi )$ — производная функции Эйри.

Функции ${\psi }_n(x)$ ортогональны. В этом можно убедиться, вычислив интеграл от произведения волновых функций, принадлежащих разным квантовым состояниям $n\ne m$Шаблон:Sfn:

$\begin{array}{cc}& C_n{C}_m\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dx\mathrm{A}\mathrm{i}(\alpha x-a_n)\mathrm{A}\mathrm{i}(\alpha x-a_m)=\\ & \frac{C_n{C}_m}{\alpha (a_m-a_n)}[{\mathrm{A}\mathrm{i}}^{\prime }(\alpha x-a_n)\mathrm{A}\mathrm{i}(\alpha x-a_m)-\\ & {\mathrm{A}\mathrm{i}(\alpha x-a_n){\mathrm{A}\mathrm{i}}^{\prime }(\alpha x-a_m)]}_{x=0}^{\mathrm{\infty }}=0.\\ \end{array}$

Ширина потенциальной ямы

Для рассматриваемой ямы волновые функции экспоненциально убывают $\mathrm{A}\mathrm{i}(\alpha x-a_n)\sim x^{-1/4}\exp (-2{(\alpha x)}^{3/2}/3)$ при $x\to +\mathrm{\infty }$ и отличны от нуля при сколь угодно больших расстояниях $x$. Ширина классически доступной ($E_n>U(x)$) области находится из условия

$U(x_n)=F{x}_n=E_n$

и составляет

$x_n=\frac{a_n}{\alpha }.$

Значения $x_n$ схематически показаны на рисунке 1.

Применение результатов

Рис. 2. Зонная диаграмма гетероперехода двух полупроводников.

Задача об энергетическом спектре магнитных поверхностных уровней электронов приближённо сводится к модели треугольной потенциальной ямы. На малых расстояниях от поверхности проводника и в слабом магнитном поле в уравнении Шрёдингера можно пренебречь слагаемыми, квадратичными по векторному потенциалу, и эффективный потенциал ямы линейно зависит от расстояния от поверхности, которая описывается бесконечной стенкой.

Модель треугольной ямы используется при исследованиях двумерного электронного газа в инверсных слоях у границ раздела диэлектрик—полупроводник и границ двух разных полупроводников. Хотя в таких системах профиль зоны проводимости в полупроводнике сложнее, чем линейный, а разрыв зоны проводимости на гетерогранице не является бесконечным (см. рис.2), непосредственно вблизи этой границы яма приближённо считается треугольной, а разрыв зоны достаточно большим.

См. также

• Квантовое движение в электрическом поле
• Прямоугольная квантовая яма
• Осцилляции Зенера — Блоха
• Квантовый осциллятор
• Магнитные поверхностные уровни

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга