Осцилляции Зенера — Блоха

Осцилляции Зенера — Блоха — колебания частицы, движущейся в периодическом потенциале, под действием постоянной силы. Примером системы, в которой могут реализоваться такие колебания, является кристаллическое твердое тело. В реальных кристаллах создать условия для наблюдения осцилляций Зенера — Блоха трудно, однако они наблюдались в искусственных системах, например, сверхрешётках.

Кларенс Зенер рассмотрел такие колебания для электронов кристалла во внешнем электрическом поле. Феликс Блох обобщил теорию на случай любых частиц и любых сил.

Квазиклассическое рассмотрение

Если пренебречь межзонными переходами электронов в присутствии внешнего электрического поля $𝐄$, то перемещения электрона в k-пространстве полностью определяется вторым законом Ньютона:

$\hslash \frac{dk}{dt}=-e𝐄$.

Где $e$ —- элементарный заряд (в этих обозначениях заряд электрона равен $-e=-1,6\cdot 10^{-19}$ Кл). При отсутствии столкновений электрон проходит во всей первой зоне Бриллюэна, отражается от её границы, снова пересекает зону, и вновь отражается на границе. В результате такое движение электрона в зоне под действием постоянного электрического поля имеет характер осцилляций в $𝐤$-пространстве, а значит и в обычном пространстве. Эти осцилляции получили название осцилляций Зенера (частичный случай электрического поля) и Блоха (общий случай действия потенциального поля какой-либо природы).

Пусть поле $𝐄$ направлено вдоль вектора обратной решётки $𝐊$, определяющий положение границы зоны Бриллюэна, отражающей электроны. За одну осцилляцию электрон проходит расстояние $K$. Если $K=\frac{2\pi }{a}$, где $a$ — постоянная решетки, то циклическая частота равна:

${\omega }_z=\frac{eEa}{\hslash }$.

Поскольку $a\approx 3$A, для поля $2\cdot 10^6$ В/м, то частота составляет около $10^{13}$ Гц. Осцилляции ограничены в пространстве. В такой ситуации потенциал возмущения $e𝐄𝐫$ видоизменяет энергетические уровни в зоне. И состояния, энергия которых отличается на величину $eEa$ изменяют энергии вдоль краёв зоны. Равные энергии создают т. н. штарковскую лестницу, названную так, поскольку её возникновение напоминает эффект Штарка в атомной физике. Ясно, что амплитуда $L_z$, пространственных осцилляций определяется шириной зоны $W_b$:

$L_z=\frac{W_b}{2eE}$

Так как на элементарную ячейку приходится одно состояние, то общее количество осцилляций остаётся неизменной величиной, однако интервалы между соседними уровнями энергии остаются конечными и одинаковыми.

Квантовая теория

Волновая функция электрона в состоянии Зенера — Блоха, очевидно отличается от бегущей волны, поскольку $𝐤$ уже не является хорошим квантовым числом. Рассматривая приложенный потенциал, как возмущение, находим:

$(H_0^{*}-e𝐄\cdot 𝐫){\psi }_z=E_z{\psi }_z$-

${\psi }_z=V^{-\frac{1}{2}}\sum _{𝐤}^{\propto }{c}_k{\varphi }_k(𝐫)$

где ${\psi }_k(𝐫)$ — зонные функции Блоха, ${\hat{H}}_0^{*}=p^2/2m^{*}$. Теория возмущений даёт

$c_{k^{\prime }}=\sum _{𝐤}^{\propto }\frac{c_k⟨{𝐤}^{\prime }|-eE𝐫|𝐤⟩}{W_z-W_{k^{\prime }}}$.

Матричный элемент удобнее всего вычислять учитывая

$𝐫\exp (i𝐤𝐫)=-i{\mathrm{\nabla }}_k\exp (i𝐤𝐫)$.

Переходя от суммирования по $𝐤$ к интегрированию с помощью соотношения

$\sum _{𝐤}\to \underset{}{\overset{}{\int }}\frac{V}{8{\pi }^3}d𝐤$,

и интегрируя по частям, используя свойство ортогональности плоских волн, получаем:

$\sum _{𝐤}^{\propto }{c}_k⟨{𝐤}^{\prime }|-e𝐄𝐫|𝐤⟩=-e𝐄{\mathrm{\Delta }}_k{c}_k{\delta }_{k{k}^{\prime }}$-

откуда находим производные

$\frac{d{c}_k}{d𝐤}=\frac{i(W_z-W_k)c_k}{eE}$,

как и

$c_k=c_0\exp \left\{\underset{}{\overset{}{\int }}\frac{i(W_z-W_k)}{eE}d𝐤\right\}$.

Для того, чтобы периодичность волновой функции сохранялась, функция $c_k$ должна быть периодической. Если положить

$W_k=W_0+W(𝐤),$

где $W_k=W_0$ — энергия центра зоны, то с условия периодичности вытекает равенство энергий

$W_z-W_0=e𝐄n^{\prime }(𝐚),$

где $n^{\prime }$ — целое число, а $𝐚$ — вектор элементарной ячейки. В результате, состояние, которому отвечает собственное значение $W_z$, локализовано в пространстве у элементарной ячейки, расположенной в точке $n^{\prime }𝐚$, откуда полагая $n^{\prime }𝐚=𝐫$, находим

$c_k=c_0\exp \{-i(𝐤{𝐫}_{\mathrm{𝟎}}\underset{}{\overset{}{\int }}\frac{i{W}_k}{eE}d𝐤\left)\right\}$.

Волновые функции Блоха здесь принимают вид

${\psi }_z=V^{-1/2}{c}_0\sum _{𝐤}^{\propto }{u}_k(𝐫)\exp \{i\underset{}{\overset{}{\int }}\frac{W(𝐤)}{eE}d𝐤-i𝐤({𝐫}_{\mathrm{𝟎}}\mathbf{-}𝐫)\}.$

Теперь можно использовать простую модель, описывающую зону по направлению поля $𝐄$:

$W𝐤=-\frac{W_b}{2}\cos ka$

$-\frac{\pi }{a}<k<\frac{\pi }{a},$

где $W_b$ — ширина зоны. Далее предполагаем, что функция $u_k(𝐫)$ от $𝐤$. Тогда

${\psi }_z=V^{-1/2}{c}_{0}u(𝐫)\sum _{𝐤}^{\propto }\exp \{-\frac{i{W}_b\sin ka}{2eEa}-i𝐤{𝐫}_{\mathrm{𝟎}}\mathbf{-}𝐫\}=$

$=c_{0}u(𝐫)J_n(\frac{W_b}{2eEa}),n=(x_0-x)/a,$

где $J_n(z)$ — функция Бесселя, $n$ — целое число, а поле направлено вдоль оси $x$. У точки $x=x_0$ функция $J_n(z)$ ведет себя подобно стоящей волны с волновым вектором величины $\pi /2a$, то есть длина волнового вектора ровная половине расстоянии от центра зоны Бриллюэна к его границе. Когда $|x_0-x|\gg a$, асимптотическое разложение даёт

$J_n\left(\frac{W_b}{2eEa}\right)\approx \frac{(-1{)}^{|x_0-x|/a}}{(2\pi |x_0-x|/a{)}^{1/2}}{\left(\frac{e_n{L}_z}{2|x_0-x|}\right)}^{|x_0-x|/a}$,

где $L_z$ — классическая амплитуда пространственных осцилляций, а $e_n$ — основание натуральных логарифмов. Ясно, что при $|x_0-x|>e_n{L}_z/2$ волновая функция очень быстро затихает. Она уменьшается при $|x_0-x|\to 0$, достигая максимума в точке $|x_0-x|=L_z/2$. Поведение этой волновой функции качественно напоминает поведение гармоничного осцилятора — она растет у концов отрезка, соответствующие классическим точкам поворота. С тем, чтобы наблюдать это явление необходимо удовлетворить условия

${\omega }_z\tau >1,$

где $\tau$ — время между столкновениями. Обычно расчет времени $\tau$ проводят для состояний, близких к краям зоны. Типичные значения $\tau$ около $10^{-13}$ с. В результате, электрон который осуществляет колебания Зинера — Блоха, большую часть времени находится около краёв зоны, и потому разумно принять оценку времени около $10^{-13}$. Для этой цели необходимо создать поля, которые превысят $2\cdot 10^6$ В/м. Во многих случаях такое сильное поле может привести к пробою полупроводника.

См. также

• Квантовый осциллятор
• Осцилляции Блоха