Прямоугольная квантовая яма

Прямоуго́льная ква́нтовая я́ма — средняя. характеризующаяся наименьшей потенциальной энергией, часть трёхчастной квантовомеханической системы с кусочно-постоянной зависимостью потенциальной энергии от декартовой координаты. Обычно рассматривается симметричная система, в которой потенциал в крайних частях одинаков; такой профиль потенциала является одним из самых простых в квантовой механике. Он может быть математически представлен как отрицательная константа на некотором отрезке $-a\dots a$ и нуль в остальных точках вещественной оси:

$U(x)=\{\begin{array}{cc}-U_0,& |x|⩽a,\\ 0,& |x|>a.\end{array}$

Порядок величины $a$ — несколько нанометров, величины $U_0$ — от долей до единиц эВ. Движение по двум другим координатам (то есть в плоскости $yz$) предполагается свободным.

Волновые функции частицы

Стационарное уравнение Шрёдингера для частицы массой $m$ в потенциале описанного профиля имеет вид

$\{\begin{array}{cc}-\frac{{\hslash }^2}{2m}{\mathrm{\Psi }}^{″}(x)-U_0\mathrm{\Psi }(x)=E\mathrm{\Psi },& |x|⩽a,\\ -\frac{{\hslash }^2}{2m}{\mathrm{\Psi }}^{″}(x)=E\mathrm{\Psi },& |x|>a.\end{array}$

Если ввести обозначения

$\varkappa =\sqrt{-\frac{2mE}{{\hslash }^2}},$

$k_0=\sqrt{\frac{2m{U}_0}{{\hslash }^2}},$

$k=\sqrt{k_0^2-{\varkappa }^2},$

то оно примет вид

$\{\begin{array}{cc}{\mathrm{\Psi }}^{″}(x)+k^2\mathrm{\Psi }=0,& |x|⩽a,\\ {\mathrm{\Psi }}^{″}(x)+{\varkappa }^2\mathrm{\Psi }=0,& |x|>a.\end{array}$

Потенциал инвариантен по отношению к инверсии пространства $U(x)=U(-x)$, поэтому решения уравнения являются собственными функциями оператора чётности, то есть являются либо чётными ($\mathrm{\Psi }(x)=u_{+}(x)$), либо нечётными ($\mathrm{\Psi }(x)=u_{-}(x)$). Чётные решения имеют вид

$u_{+}(x)=\{\begin{array}{cc}{A}_{+}\cos kx,& |x|⩽a,\\ A_{+}{e}^{\varkappa (a-|x|)}\cos ka& |x|>a,\end{array}$

где

$A_{+}=\frac{1}{\sqrt{a+\frac{1}{k}\sin ka\cos ka+\frac{1}{\varkappa }{\cos }^{2}ka}}$

Нечётные

$u_{-}(x)=\{\begin{array}{cc}{A}_{-}\sin kx,& |x|⩽a,\\ A_{-}{e}^{\varkappa (a-|x|)}\sin ka& |x|>a,\end{array}$

где

$A_{-}=\frac{1}{\sqrt{a-\frac{1}{k}\sin ka\cos ka+\frac{1}{\varkappa }{\sin }^{2}ka}}$

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга