Векторный потенциал

Шаблон:О Шаблон:Значения В векторном анализе ве́кторный потенциа́л — это векторное поле, ротор которого равен заданному векторному полю. Он аналогичен скалярному потенциалу, который определяется как скалярное поле, градиент которого равен заданному векторному полю.

Формально, если $𝐯$ — векторное поле, векторным потенциалом называется векторное поле $𝐀$ такое, что

$𝐯=\mathrm{\nabla }\times 𝐀.$

Если $𝐀$ является векторным потенциалом для поля $𝐯$, то из тождества

$\mathrm{\nabla }\cdot (\mathrm{\nabla }\times 𝐀)=0$

(дивергенция ротора равна нулю) следует

$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐯=\mathrm{\nabla }\cdot (\mathrm{\nabla }\times 𝐀)=0,$

то есть $𝐯$ должно быть соленоидальным векторным полем.

Для любого соленоидального векторного поля, удовлетворяющего определённым условиям, существует векторный потенциал. В частности, его существование зависит от области, на которой определено поле — в случае многосвязной области потенциал вихревого поля обычно не существует.

Теорема

Пусть

$𝐯:{ℝ}^3\to {ℝ}^3$

— дважды непрерывно дифференцируемое соленоидальное векторное поле. Предположим, что $𝐯\left(𝐱\right)$ убывает достаточно быстро при $\Vert 𝐱\Vert \to \mathrm{\infty }$. Определим

$𝐀(𝐱)=\frac{1}{4\pi }\underset{{ℝ}^3}{\int }\frac{{\mathrm{\nabla }}_y\times 𝐯(𝐲)}{\Vert 𝐱-𝐲\Vert }d𝐲.$

Тогда $𝐀$ является векторным потенциалом для $𝐯$, то есть

$\mathrm{\nabla }\times 𝐀=𝐯.$

Обобщением этой теоремы является разложение Гельмгольца, согласно которому любое векторное поле может быть представлено как сумма соленоидального векторного поля и безвихревого векторного поля.

Неоднозначность выбора потенциала

Векторный потенциал соленоидального векторного поля определяется неоднозначно. Если $𝐀$ является векторным потенциалом для $𝐯$, также им является

$𝐀+\mathrm{\nabla }m,$

где $m$ — любая непрерывно дифференцируемая скалярная функция. Это является следствием того факта, что ротор градиента равен нулю.

В электродинамике это даёт неоднозначность при определении потенциалов электромагнитного поля и решается наложением на потенциал дополнительного условия калибровки.

Векторный потенциал в физике

Уравнения Максвелла

Одним из способов записи уравнений Максвелла является формулировка в терминах векторного и скалярного потенциалов. Векторный потенциал $𝐀$ вводится таким образом, что

${\mu }_0𝐇=𝐁=\mathrm{rot}𝐀$ (в системе СИ).

При этом уравнение $\mathrm{div}𝐁=0$ удовлетворяется автоматически.

Подстановка выражения для $𝐀$ в

$\mathrm{rot}𝐄=-\frac{\partial 𝐁}{\partial t}$

приводит к уравнению

$\mathrm{rot}(𝐄+\frac{\partial 𝐀}{\partial t})=0,$

согласно которому, так же как и в электростатике, вводится скалярный потенциал. Однако теперь в $𝐄$ вносят вклад и скалярный, и векторный потенциалы:

$𝐄=-\mathrm{grad}\phi -\frac{\partial 𝐀}{\partial t}.$

Из уравнения $\mathrm{rot}𝐇=𝐣+\frac{\partial 𝐃}{\partial t}$ следует

$\mathrm{rot}\mathrm{rot}𝐀={\mu }_0𝐣+{\epsilon }_0{\mu }_0\frac{\partial }{\partial t}(-\mathrm{grad}\phi -\frac{\partial 𝐀}{\partial t}).$

Используя равенство $\mathrm{rot}\mathrm{rot}𝐀=\mathrm{grad}\mathrm{div}𝐀-{\mathrm{\nabla }}^2𝐀$, уравнения для векторного и скалярного потенциалов можно записать в виде

$\mathrm{\Delta }𝐀-\mathrm{grad}(\mathrm{div}𝐀+\frac{1}{c^2}\frac{\partial \phi }{\partial t})-\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2𝐀}{\partial t^2}=-{\mu }_0𝐣,$

$\mathrm{\Delta }\phi +\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{div}𝐀=-\frac{\rho }{{\epsilon }_0}.$

Физический смысл векторного потенциала

Шаблон:Details В классической электродинамике векторный потенциал достаточно часто трактовался как величина, не имеющая непосредственного физического смысла, формально вводимая лишь для удобства выкладок, хотя уже в структуре действия для классической электродинамики векторный потенциал входит таким прямым образом, что это наводит на мысль о его фундаментальном характере.

В квантовой теории это имеет прозрачный физический смысл прямого влияния векторного потенциала на фазу волновой функции движущейся в магнитном поле частицы. Более того, удалось поставить квантовые эксперименты, показавшие, что векторный потенциал доступен достаточно непосредственному в некотором смысле измерению (по крайней мере, речь идёт о том, что векторный потенциал может влиять наблюдаемым измеримым образом на квантовую частицу даже тогда, когда напряжённость магнитного поля в областях, доступных частице, всюду равна нулю, то есть магнитное поле не может оказывать воздействие на частицу через напряжённость, а лишь прямо — через векторный потенциал; см. Эффект Ааронова — Бома).

Подобно тому, как скалярный потенциал связан с понятием энергии, векторный потенциал обнаруживает тесную связь с понятием импульса. Так, в случае быстрого отключения магнитного поля частица, находившаяся в нём, получает дополнительный импульс qA.

См. также

• Скалярный потенциал
• Основная теорема векторного анализа
• Векторный потенциал электромагнитного поля
• Вектор Герца
• Калибровка векторного потенциала