Теорема разложения Гельмгольца

Теорема разложения Гельмгольца — утверждение о разложении произвольного дифференцируемого векторного поля на две компоненты:

Шаблон:Рамка Если дивергенция и ротор векторного поля $𝐅(𝐫)$ определены в каждой точке конечной открытой области V пространства, то всюду в V функция может быть представлена в виде суммы безвихревого поля ${𝐅}_1(𝐫)$ и соленоидального поля ${𝐅}_2(𝐫)$:

$𝐅(𝐫)={𝐅}_1(𝐫)+{𝐅}_2(𝐫),$

где

$\mathrm{rot}{𝐅}_1(𝐫)=0,$

$\mathrm{div}{𝐅}_2(𝐫)=0$

для всех точек $𝐫$ области V. Шаблон:Конец рамки

В более популярной формулировке для всего пространства теорема Гельмгольца гласит:

Шаблон:Рамка Любое векторное поле $𝐅$, однозначное, непрерывное и ограниченное во всем пространстве, может быть разложено на сумму потенциального и соленоидального векторных полей и представлено в виде:

$𝐅=-\mathrm{\nabla }\mathrm{\Phi }+\mathrm{\nabla }\times 𝐀$

Скалярная функция $\mathrm{\Phi }$ называется скалярным потенциалом, векторная функция $𝐀$ называется векторным потенциалом.Шаблон:Sfn.

Формулировка теоремы

Пусть F — векторное поле в R³, и пусть оно дважды непрерывно дифференцируемо и убывает на бесконечности быстрее, чем 1/r, в случае неограниченной области. Тогда поле F представимо в виде суммы безвихревого поля (ротор которого равен нулю) и соленоидального поля (дивергенция которого равна нулю).

Одно из возможных представлений для векторного поля F в такой форме имеет вид суммы градиента и ротора двух явно вычислимых функций, как написано ниже:

$𝐅=-\mathrm{\nabla }(𝒢(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐅))+\mathrm{\nabla }\times (𝒢(\mathrm{\nabla }\times 𝐅)),$

где $𝒢$ — это оператор ньютониан (если он действует на векторное поле вроде ∇ × F, он действует на каждую его компоненту).

Если F имеет нулевую дивергенцию, ∇·F = 0, то F называется соленоидальным, или бездивергентным, и разложение Гельмгольца поля F сокращается до

$𝐅=\mathrm{\nabla }\times 𝒢(\mathrm{\nabla }\times 𝐅)=\mathrm{\nabla }\times 𝐀.$

В случае такого представлении поля A называется векторным потенциалом поля F. Для соленоидального поля (то есть поля с нулевой дивергенцией) всегда можно построить вектор-функцию (векторный потенциал), ротором которого данное поле является. Векторный потенциал для заданного соленоидального поля определяется со значительной степенью свободы. В частности, без ограничения общности на него можно наложить условие кулоновской калибровки (или нормировки) ∇·A = 0 (частный случай бездивергентного векторного потенциала, см. также ниже задачу о восстановлении вектор-функции по ротору и дивергенции). К векторному потенциалу можно свободно добавить градиент любой скалярной функции — от этого его ротор, то есть определяемое им соленоидальное поле, не меняется (а если указанная скалярная функция удовлетворяет уравнению Лапласа, то не меняется также и условие кулоновской калибровки, когда векторный потенциал ему удовлетворяет).

В случае, если F имеет нулевой ротор, ∇×F = 0, то F называется безвихревым или локально потенциальным полем, а разложение F принимает вид

$𝐅=-\mathrm{\nabla }𝒢(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐅)=-\mathrm{\nabla }\varphi .$

В случае такого представления поля φ называется скалярным потенциалом поля F. Для безвихревого поля (то есть поля с нулевым ротором) всегда можно построить скалярную функцию (скалярный потенциал), градиентом которого данное поле является. Скалярный потенциал для заданного безвихревого поля определяется с точностью до аддитивной константы.

В общем случае F представимо суммой

$𝐅=-\mathrm{\nabla }\varphi +\mathrm{\nabla }\times 𝐀$,

где отрицательный градиент скалярного потенциала — безвихревая компонента поля, а ротор векторного потенциала — соленоидальная. Представление F в виде суммы безвихревого поля и соленоидального поля не является единственным, поскольку к φ всегда можно прибавить произвольную функцию ψ, удовлетворяющую уравнению Лапласа, а к A — согласованную с ψ вектор-функцию H, являющуюся результатом решения задачи о восстановлении вектор-функции по ротору и дивергенции (см. ниже) в соответствии с уравнениями ∇·H = 0, ∇×H = ∇ψ. Такая подстановка не только меняет скалярный и векторный потенциалы, участвующие в разложении Гельмгольца, но и существенным образом меняет безвихревое поле -∇(φ+ψ) и соленоидальное поле ∇×(A+H), на сумму которых распадается поле F.

Поля, определенные ротором и дивергенцией

С теоремой Гельмгольца тесно связана задача о восстановлении векторного поля по дивергенции и ротору, которую иногда называют задачей Гельмгольца.

Пусть дано скалярное поле   $𝐝(x,y,z)$   и векторное поле   $𝐂(x,y,z)$,   которые достаточно гладки и либо заданы в ограниченной области, либо убывают быстрее 1/r² на бесконечности. Требуется найти такое векторное поле   $𝐅(x,y,z)$,   что

$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐅=𝐝$      и      $\mathrm{\nabla }\times 𝐅=𝐂.$

При анализе существования и единственности решения задачи следует различать:

1. внутреннюю задачу (ротор, дивергенция и сама вектор-функция рассматриваются внутри ограниченной области, имеющей достаточно гладкую границу),
2. внешнюю задачу (ротор, дивергенция и сама вектор-функция рассматриваются для пространства R³ с вырезанной «дыркой», имеющей достаточно гладкую границу),
3. задачу для всего пространства R³.

Внутренняя задача (при условии её разрешимости) имеет однозначное решение, если вдоль границы области задана нормальная проекция    $(𝐧\cdot 𝐅){|}_S=𝐠(𝐒)$   для вектор-функции $𝐅$.

Внешняя задача (при условии её разрешимости) имеет однозначное решение, если вдоль границы области задана нормальная проекция    $(𝐧\cdot 𝐅){|}_S=𝐠(𝐒)$   для вектор-функции $𝐅$, и на вектор-функцию $𝐅$ наложено требование, что она убывает на бесконечности по крайней мере как   ${\mathrm{𝟏}/𝐫}^{2+\epsilon }$.

Задача для всего пространства R³ (при условии её разрешимости) имеет однозначное решение, если на вектор-функцию $𝐅$ наложено требование, что она убывает на бесконечности по крайней мере как   ${\mathrm{𝟏}/𝐫}^{2+\epsilon }$.

Во всех этих случаях решение задачи Гельмгольца единственно, если оно существует при заданных входных данных.

Необходимые условия существования решения

Задача имеет решение не при всех   $𝐝(x,y,z)$,   $𝐂(x,y,z)$   и   $𝐠\mathbf{(}𝐒\mathbf{)}$  :

1. Из тождества   $\mathrm{\nabla }\cdot \mathrm{\nabla }\times 𝐅\equiv 0$   следует, что должно быть выполнено условие   $\mathrm{\nabla }\cdot 𝐂=0$,   то есть дивергенция вектора   $𝐂(x,y,z)$   обязана быть равной нулю.
2. Для внутренней задачи из тождества   $\underset{V}{\iiint }(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐅)dV=\underset{S}{\iint }(𝐧\cdot 𝐅)dS$   следует, что   $\underset{V}{\iiint }𝐝\mathbf{(}𝐱,𝐲,𝐳\mathbf{)}dV=\underset{S}{\iint }𝐠\mathbf{(}𝐒\mathbf{)}dS$,   то есть интеграл от краевого условия   $𝐠\mathbf{(}𝐒\mathbf{)}$   по ограничивающей поверхности   $𝐒$   должен быть равен интегралу от функции   $𝐝(x,y,z)$   по объему области.
3. Для внешней задачи и для задачи, заданной для всего пространства R³, функции   $𝐝$    и     $𝐂$   должны достаточно быстро стремиться к нулю на бесконечности вместе с самой функцией.

Достаточные условия существования и единственности решения

A. Внутренняя задача: если

1. $\mathrm{\nabla }\cdot 𝐂\mathbf{(}𝐱,𝐲,𝐳\mathbf{)}=0$   и  
2. $\underset{V}{\iiint }𝐝\mathbf{(}𝐱,𝐲,𝐳\mathbf{)}dV=\underset{S}{\iint }𝐠\mathbf{(}𝐒\mathbf{)}dS$,  

то решение задачи восстановления поля   $𝐅(x,y,z)$   по ротору   $𝐂(x,y,z)$,   дивергенции   $𝐝(x,y,z)$   и граничному условию   $𝐠\mathbf{(}𝐒\mathbf{)}$   существует и единственно.

Б. Внешняя задача: если

1. $\mathrm{\nabla }\cdot 𝐂\mathbf{(}𝐱,𝐲,𝐳\mathbf{)}=0$   и  
2. интегралы $\underset{V}{\iiint }\frac{𝐝(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|}d{V}^{\prime }$   и   $\underset{V}{\iiint }\frac{𝐂(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|}d{V}^{\prime }$   сходятся при интегрировании по бесконечному объему и убывают на бесконечности при   $𝐫\to \mathrm{\infty }$   по крайней мере как   ${\mathrm{𝟏}/𝐫}^{1+\epsilon }$,  

то решение задачи восстановления поля   $𝐅(x,y,z)$   по ротору   $𝐂(x,y,z)$,   дивергенции   $𝐝(x,y,z)$,   граничному условию   $𝐠\mathbf{(}𝐒\mathbf{)}$   и условию, что   $𝐅(x,y,z)$   спадает на бесконечности по крайней мере как   ${\mathrm{𝟏}/𝐫}^{2+\epsilon }$,   существует и единственно.

В. Задача для всего пространства R³: если

1. $\mathrm{\nabla }\cdot 𝐂\mathbf{(}𝐱,𝐲,𝐳\mathbf{)}=0$   и  
2. интегралы $\underset{V}{\iiint }\frac{𝐝(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|}d{V}^{\prime }$   и   $\underset{V}{\iiint }\frac{𝐂(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|}d{V}^{\prime }$   сходятся при интегрировании по бесконечному объему и убывают на бесконечности при   $𝐫\to \mathrm{\infty }$   по крайней мере как   ${\mathrm{𝟏}/𝐫}^{1+\epsilon }$,  

то решение задачи восстановления поля   $𝐅(x,y,z)$   по ротору   $𝐂(x,y,z)$,   дивергенции   $𝐝(x,y,z)$   и условию, что   $𝐅(x,y,z)$   спадает на бесконечности по крайней мере как   ${\mathrm{𝟏}/𝐫}^{2+\epsilon }$,   существует и единственно.

Разрешимость и однозначность решения задачи Гельмгольца тесно связана с разрешимостью и однозначностью решения задачи Неймана для уравнения Лапласа в той же самой области (см. далее алгоритм конструирования решения задачи Гельмгольца).

Разложение векторного поля на сумму безвихревого поля и соленоидального поля

С помощью задачи о восстановлении вектор-функции по ротору и дивергенции разложение векторного поля $𝐅(x,y,z)$ на сумму безвихревого поля и соленоидального поля может быть выполнено следующим образом:

1. Для заданной вектор-функции $𝐅$ вычисляются: функция $𝐂=\mathrm{\nabla }\times 𝐅$ функция $𝐝=\mathrm{\nabla }\cdot 𝐅$, краевое условие $𝐠(𝐒)=(𝐧\cdot 𝐅){|}_S$, если вектор-функция $𝐅$ задана для подобласти пространства ${ℝ}^3$ с границей $S$.
2. Когда речь идёт о внутренней задаче, то из тождества $\underset{V}{\iiint }(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐅)dV\equiv \underset{S}{\iint }(𝐧\cdot 𝐅)dS$, следует условие совместности $\underset{V}{\iiint }𝐝(x,y,z)dV=\underset{S}{\iint }𝐠\mathbf{(}𝐒\mathbf{)}dS$. Поэтому все условия совместности входных данных для задачи $\mathrm{\nabla }\cdot {𝐅}_{\mathrm{𝟏}}=𝐝$ и $\mathrm{\nabla }\times {𝐅}_{\mathrm{𝟏}}=0$ с краевым условием $𝐠(𝐒)$ выполнены, задача разрешима и имеет единственное решение. Полученная вектор-функция ${𝐅}_{\mathrm{𝟏}}$ является безвихревым полем.
3. Поскольку $\mathrm{\nabla }\cdot 𝐂=\mathrm{\nabla }\cdot \mathrm{\nabla }\times 𝐅\equiv 0$, условия совместности входных данных для задачи $\mathrm{\nabla }\cdot {𝐅}_2=0$ и $\mathrm{\nabla }\times {𝐅}_2=𝐂$ с нулевым краевым условием выполнены, задача разрешима и имеет единственное решение. Полученная вектор-функция ${𝐅}_{\mathrm{𝟐}}$ является соленоидальным полем.
4. Рассмотрим задачу $\mathrm{\nabla }\cdot {𝐅}_3=𝐝$, $\mathrm{\nabla }\times {𝐅}_3=𝐂$ с краевым условием $𝐠(𝐒)$. Условия совместности входных данных выполнены, задача разрешима и имеет единственное решение. При этом с одной стороны, решением данной задачи является сама функция $𝐅$, а с другой стороны, решением этой же задачи является функция ${𝐅}_1+{𝐅}_2$. Значит, $𝐅\equiv {𝐅}_1+{𝐅}_2$, искомое представление поля $𝐅$ как суммы безвихревого поля и соленоидального поля построено.

Построенное представление векторного поля в виде суммы двух полей не является единственным. Существуют векторные поля, которые одновременно являются и безвихревыми (ротор равен нулю), и соленоидальными (дивергенция равна нулю). Эти поля — градиенты скалярных функций, удовлетворяющих уравнению Лапласа (и только они). Прибавляя любое такое поле к первому слагаемому и вычитая его из второго слагаемого, получим новое разбиение векторного поля на сумму безвихревого и соленоидального поля.

Восстановление вектор-функции по ротору и дивергенции

Решение задачи о восстановлении функции по ротору, дивергенции и краевому условию может быть построено следующим образом:

1) Для заданной функции   $𝐝(x,y,z)$   вычисляется функция   ${𝐅}_{\mathrm{𝟏}}(x,y,z)=\mathrm{\nabla }𝐔$,   где скалярный потенциал   $𝐔(x,y,z)$   вычисляется по формуле

  $𝐔(x,y,z)=-\frac{1}{4\pi }\underset{V}{\iiint }\frac{𝐝(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })}{\sqrt{(x-x^{\prime }{)}^2+(y-y^{\prime }{)}^2+(z-z^{\prime }{)}^2}}d{x}^{\prime }d{y}^{\prime }d{z}^{\prime }$.  

В результате получается функция   ${𝐅}_{\mathrm{𝟏}}(x,y,z)$,   у которой   $\mathrm{\nabla }\cdot {𝐅}_{\mathrm{𝟏}}(x,y,z)=𝐝(x,y,z)$   и   $\mathrm{\nabla }\times {𝐅}_{\mathrm{𝟏}}(x,y,z)=0$;  

2) Для заданной функции   $𝐂(x,y,z)$   вычисляется функция   ${𝐅}_{\mathrm{𝟐}}(x,y,z)=\mathrm{\nabla }\times 𝐀$,   где векторный потенциал   $𝐀(x,y,z)$   вычисляется по формуле

  $𝐀(x,y,z)=+\frac{1}{4\pi }\underset{V}{\iiint }\frac{𝐂(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })}{\sqrt{(x-x^{\prime }{)}^2+(y-y^{\prime }{)}^2+(z-z^{\prime }{)}^2}}d{x}^{\prime }d{y}^{\prime }d{z}^{\prime }$.  

В результате получается функция   ${𝐅}_{\mathrm{𝟐}}(x,y,z)$,   у которой   $\mathrm{\nabla }\cdot {𝐅}_{\mathrm{𝟐}}(x,y,z)=0$   и   $\mathrm{\nabla }\times {𝐅}_{\mathrm{𝟐}}(x,y,z)=𝐂(x,y,z)$;  

3) Ищется функция   ${𝐅}_{\mathrm{𝟑}}(x,y,z)$,   у которой   $\mathrm{\nabla }\cdot {𝐅}_{\mathrm{𝟑}}(x,y,z)=0$,     $\mathrm{\nabla }\times {𝐅}_{\mathrm{𝟑}}(x,y,z)=0$,   а нормальная проекция на границе области   $(𝐧\cdot {𝐅}_{\mathrm{𝟑}}){|}_S$   выбрана таким образом, чтобы   $𝐅={𝐅}_{\mathrm{𝟏}}+{𝐅}_{\mathrm{𝟐}}+{𝐅}_{\mathrm{𝟑}}$   удовлетворяла граничному условию   $(𝐧\cdot 𝐅){|}_S=𝐠(𝐒)$.  

Чтобы найти такую функцию   ${𝐅}_{\mathrm{𝟑}}(x,y,z)$,   делается подстановка   ${𝐅}_{\mathrm{𝟑}}(x,y,z)=\mathrm{\nabla }𝐇$,   где скалярный потенциал   $𝐇(x,y,z)$   должен удовлетворять уравнению Лапласа   $\mathrm{\Delta }𝐇=0$.   Для функции   $𝐇(x,y,z)$   получается краевое условие Неймана   ${\frac{\partial 𝐇}{\partial 𝐧}|}_S=𝐠\mathbf{(}𝐒\mathbf{)}-(𝐧\cdot ({𝐅}_{\mathrm{𝟏}}\mathbf{+}{𝐅}_{\mathrm{𝟐}}))$,    причем легко проверить, что критерий разрешимости задачи Неймана будет выполнен. Поэтому функция   $𝐇(x,y,z)$   всегда существует, определяется единственным образом для внешней задачи, и с точностью до аддитивной константы для внутренней задачи. В результате нужная нам функция   ${𝐅}_{\mathrm{𝟑}}(x,y,z)$   всегда существует и единственна.

Функция   $𝐅(x,y,z)={𝐅}_{\mathrm{𝟏}}(x,y,z)+{𝐅}_{\mathrm{𝟐}}(x,y,z)+{𝐅}_{\mathrm{𝟑}}(x,y,z)$   является решением для поставленной задачи, причём единственным. Если граничное условие не задано, решением задачи являются все возможные функции вида   $𝐅(x,y,z)={𝐅}_{\mathrm{𝟏}}(x,y,z)+{𝐅}_{\mathrm{𝟐}}(x,y,z)+{𝐅}_{\mathrm{𝟑}}(x,y,z)$,   где   ${𝐅}_{\mathrm{𝟑}}(x,y,z)$,   есть градиент любой функции, удовлетворяющей уравнению Лапласа. Если задача ставится во всём пространстве R³, решением (единственным) будет функция   $𝐅(x,y,z)={𝐅}_{\mathrm{𝟏}}(x,y,z)+{𝐅}_{\mathrm{𝟐}}(x,y,z)$,   обладающая нужным поведением на бесконечности.

Альтернативная формулировка теоремы Гельмгольца

В результате теорема Гельмгольца может быть переформулирована в следующих терминах. Пусть C — соленоидальное векторное поле (div C=0), а d — скалярное поле в R³, которые достаточно гладки и либо заданы в ограниченной области, либо убывают быстрее 1/r² на бесконечности. Тогда существует векторное поле F такое, что

$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐅=d$   и   $\mathrm{\nabla }\times 𝐅=𝐂.$

Если к тому же векторное поле F рассматривается во всём пространстве R³ и исчезает при r → ∞, тогда F единственно. В общем же случае решение определяется с точностью до аддитивной добавки — градиента произвольной функции, удовлетворяющей уравнению Лапласа.

Другими словами, при определённых условиях векторное поле может быть построено по его ротору и дивергенции, причём когда задача определена во всем пространстве R³, решение однозначно (при априорном предположении, что поле исчезает на бесконечности достаточно быстро). Эта теорема имеет огромное значение в электростатике; например, уравнения Максвелла в статическом случае описывают поля как раз этого типа. Как уже было написано выше, одно из возможных решений:

$𝐅=-\mathrm{\nabla }(𝒢(d))+\mathrm{\nabla }\times (𝒢(𝐂)).$

См. также

• Векторное поле
• Векторный анализ
• Формулы векторного анализа
• Соленоидальное векторное поле

Литература

• Кочин Н. Е. — Векторное исчисление и начала тензорного анализа
• Шаблон:Книга:Корн Г.А., Корн Т.М.:Справочник по математике
• Шаблон:Книга