Калибровка векторного потенциала

Калибро́вка ве́кторного потенциа́ла — наложение дополнительных условий, позволяющих однозначно вычислить векторный потенциал электромагнитного поля ($𝐀$) при решении тех или иных физических задач. Налагаемые условия являются искусственными и служат для упрощения математических выкладок. Наиболее широкое распространение получили калибровка Кулона и калибровка Лоренца, но существуют и применяются и другие калибровки.

Возможность и смысл калибровки

При введении векторного ($𝐀$) и скалярного ($\phi$) потенциалов электромагнитного поля возникает неоднозначность, не создающая никаких проблем фундаментального плана, но требующая разрешения для проведения расчётов в конкретных задачах. А именно, преобразования

$𝐀\to 𝐀+\mathrm{\nabla }\psi$,

$\phi \to \phi -\frac{\partial \psi }{\partial t}$,

где $\psi =\psi (\overrightarrow{r},t)$ — произвольная скалярная функция координат ($\overrightarrow{r}$) и времени ($t$), не изменяют вида уравнений Максвелла, а значит, допустимы с физической точки зрения. Необходимо остановиться на каком-то выборе данной функции, причём он может быть сделан из соображений математического удобства. На практике осуществляется не фиксация функции $\psi$ (при предварительно введённых потенциалах), а наложение некоторого дополнительного условия на сами потенциалы.

Примеры калибровок

Кулоновская калибровка

Кулоновская калибровка — выбор векторного потенциала магнитного поля (A) с дополнительным условием

$\mathrm{div}𝐀=0$

Эта калибровка применяется для рассмотрения нерелятивистских магнитостатических задач.

Калибровка Лоренца

Калибровка Лоренца — выбор векторного потенциала электромагнитного поля с условием (в СГС)

$\mathrm{div}𝐀+\frac{1}{c}\frac{\partial \mathit{\phi }}{\partial t}=0$, где $\phi$ — электростатический потенциал.

Эта калибровка применяется для рассмотрения динамических задач. Калибровка Лоренца сохраняется при преобразованиях Лоренца и в ковариантной форме может быть записана как

$\frac{\partial A_{\mu }}{\partial x_{\mu }}=0$

Калибровка Ландау

Калибровка Ландау — выбор векторного потенциала магнитного поля в виде $\overrightarrow{A}(\overrightarrow{r})=Bx{\overrightarrow{e}}_y$, где $B$ — магнитное поле, а ${\overrightarrow{e}}_y$ — единичный орт по направлению оси y.

Используется для удобства при решении уравнения Шрёдингера в магнитном поле, поскольку позволяет разделить переменные в декартовой системе координат и получить так называемые уровни Ландау.

Симметричная калибровка

Симметричная калибровка — выбор векторного потенциала магнитного поля в виде $\overrightarrow{A}(\overrightarrow{r})=\frac{1}{2}\overrightarrow{B}\times \overrightarrow{r}$, где $\overrightarrow{B}$ — вектор магнитного поля, а $\overrightarrow{r}$ — радиус-вектор.

Калибровка Лондонов

Калибровка Лондонов — выбор векторного потенциала магнитного поля таким образом, чтобы выполнялись условия

$\mathrm{div}\overrightarrow{A}=0$

$\overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{n}=0$, где $\overrightarrow{n}$—вектор нормали к поверхности сверхпроводника.

В этой калибровке упрощается запись уравнения Лондонов для линейной электродинамики сверхпроводников.

Калибровка Вейля

Калибровка Вейля — выбор векторного потенциала магнитного поля таким образом, чтобы выполнялись условие

$\phi =0$

Другие названия — калибровка Гамильтона

$A_4=0$

Калибровка Пуанкаре

Калибровка Пуанкаре (мультиполярная калибровка) — выбор векторного потенциала магнитного поля таким образом, чтобы выполнялись условие

$𝐫\cdot 𝐀=0$

Калибровка Фока — Швингера

Калибровка Фока — Швингера — выбор векторного потенциала магнитного поля таким образом, чтобы выполнялись условие

$𝐫\cdot 𝐀+t\cdot \phi =0$,

или

$x^{\mu }{A}_{\mu }=0$

Калибровка Дирака

$A_{\mu }{A}^{\mu }=k^2$

См. также

• Калибровочная инвариантность
• Калибровочные преобразования