Уравнение Лондонов

Уравнение Лондонов (в некоторых источниках — уравнение Лондона) устанавливает связь между током и магнитным полем в сверхпроводниках. Впервые оно было получено в 1935 году братьями Фрицем и Хайнцем Лондонами. Уравнение Лондонов дало первое удовлетворительное объяснение эффекта Мейсснера — спадания магнитного поля в сверхпроводниках. Затем в 1953 году было получено уравнение Пиппарда для чистых сверхпроводников.

Уравнение Лондона

В полной мере смысл механизма упорядочения в сверхпроводимости был впервые осознан физиком-теоретиком Фрицем Лондоном. Осознав, что электродинамическое описание, основанное исключительно на уравнениях Максвелла, в пределе нулевого сопротивления неизбежно будет предсказывать необратимое поведение идеального проводника и не будет давать обратимый диамагнетизм сверхпроводника, Лондон ввёл дополнительное уравнение. Вид этого уравнения можно получить различными способами, например, путём минимизации свободной энергии относительно распределения тока и поля или в предположении абсолютной жёсткости сверхпроводящих волновых функций по отношению к воздействию внешнего поля; для наших целей, однако, достаточно считать его интуитивной гипотезой, полностью оправдываемой своим успехом.

Уравнение, предложенное Лондоном, имеет вид

$\frac{4\pi {\lambda }^2}{c}\mathrm{rot}𝐣+𝐁=0,$

где $𝐣$ — плотность тока, $𝐁$ — магнитная индукция, ${\lambda }^2=\frac{m{c}^2}{4\pi n{q}^2}$, m и q — масса и заряд сверхпроводящих носителей тока, n — плотность этих носителей.

Лондоновская глубина проникновения

При помощи уравнения Максвелла $\mathrm{rot}𝐁=\frac{4\pi 𝐣}{c}$ можно записать уравнение Лондона в виде

${𝐁}^{\prime }+{\lambda }^2\mathrm{rot}\mathrm{rot}{𝐁}^{\prime }=0,$

где B′ — производная вектора B по времени t. Этому уравнению удовлетворяет B = const. Но такое решение не согласуется с эффектом Мейсснера — Оксенфельда, так как внутри сверхпроводника должно быть поле B = 0. Лишнее решение получилось потому, что при выводе дважды применялась операция дифференцирования по времени. Чтобы автоматически исключить это решение, Лондоны ввели гипотезу, что в последнем уравнении производную B′ следует заменить самим вектором B. Это даёт

$𝐁+{\lambda }^2\mathrm{rot}\mathrm{rot}𝐁=0.$

Решение этого уравнения в сверхпроводящей области с линейными размерами, намного большими $\lambda$, есть

$𝐁(\xi )=𝐁(0)\exp \frac{-\xi }{\lambda },$

где $𝐁(\xi )$ — индукция на глубине $\xi$ под поверхностью. Параметр $\lambda$ имеет размерность длины и называется лондоновской глубиной проникновения магнитного поля. То есть магнитное поле проникает в сверхпроводник лишь на глубину $\lambda$. Для металлов $\lambda \sim 10^{-2}$ мкм.

Природа сверхпроводимости

Уравнение Лондона даёт ключ к пониманию природы сверхпроводящего упорядочения. Вводя векторный потенциал $𝐀$, где $\mathrm{rot}𝐀=𝐁$, используя калибровку $\mathrm{div}𝐀=0$ и рассматривая односвязный сверхпроводник, мы приходим к уравнению Лондона в форме

$\frac{4\pi {\lambda }^2}{c}𝐣+𝐀=0.$

В присутствии векторного потенциала обобщённый импульс заряженной частицы даётся выражением

$𝐏=\sum 𝐩=2\sum (m𝐯+\frac{q𝐀}{c})$.

Средний импульс на одну частицу можно записать в виде

$\overline{𝐩}=\frac{q}{c}(\frac{4\pi {\lambda }^2}{c}𝐣+𝐀)=0.$

Следовательно, сверхпроводящий порядок обусловлен конденсацией носителей тока в состоянии с наименьшим возможным импульсом $𝐏=0$. При этом из принципа неопределённости вытекает, что соответствующий пространственный масштаб упорядоченности бесконечен, то есть мы получаем бесконечную «когерентность» и невозможность воздействовать на систему электронов локализованными в пространстве полями.

Первое уравнение Лондонов

Уравнение движения для единичного объёма сверхпроводящих электронов в электрическом поле имеет вид

$nm\frac{d𝐯}{dt}=ne𝐄,$

где $n$, $𝐯$, $m$ — соответственно концентрация, скорость и масса (сверхпроводящих) электронов. Вводя плотность сверхтока согласно$𝐣=ne𝐯$, получим первое уравнение Лондонов:

$𝐄=\frac{d}{dt}(\mathrm{\Lambda }𝐣),\mathrm{\Lambda }=\frac{m}{n{e}^2}.$

Второе уравнение Лондонов (вывод)

Воспользуемся уравнениями Максвелла в виде

$\mathrm{rot}𝐇=\frac{4\pi }{c}𝐣$

для нахождения объёмной плотности кинетической энергии сверхпроводящих электронов:

${𝐖}_k=\frac{nm{v}^2}{2}=\frac{m{j}^2}{2n{e}^2}=\frac{{\lambda }^2}{8\pi }(\mathrm{rot}𝐇{)}^2,$

где ${\lambda }^2=\frac{m{c}^2}{4\pi n{e}^2}.$

Также объёмная плотность магнитной энергии равна $\frac{H^2}{8\pi }$, тогда свободная энергия может быть записана в виде ($F_0$ — свободная энергия без магнитного поля) интеграла по объёму сверхпроводника:

$F=F_0+\frac{1}{8\pi }\int [H^2+{\lambda }^2(\mathrm{rot}𝐇{)}^2]dV.$

Первая вариация по полю равна

$\delta F=\frac{1}{8\pi }\int [2𝐇\delta 𝐇+2{\lambda }^2\mathrm{rot}𝐇\mathrm{rot}\delta 𝐇]dV=\frac{1}{4\pi }\int [𝐇+{\lambda }^2\mathrm{rot}\mathrm{rot}𝐇]\delta 𝐇dV-\frac{{\lambda }^2}{4\pi }\int \mathrm{div}[\mathrm{rot}𝐇;\delta 𝐇]dV=0.$

Учитывая, что второй интеграл равен нулю (по формуле Гаусса — Остроградского он сводится к интегралу по поверхности, где вариация полагается нулю), имеем

$𝐇+{\lambda }^2\mathrm{rot}\mathrm{rot}𝐇=0,$

что вместе с выражением для векторного потенциала $𝐣=-\frac{c}{4\pi {\lambda }^2}𝐀$, первым уравнением Лондонов и выбором калибровки Лондонов $\mathrm{div}(𝐀)=0$, $𝐀𝐧=0$ даёт искомое уравнение:

$\frac{4\pi {\lambda }^2}{c}\mathrm{rot}𝐉+𝐁=0.$

См. также

• Уравнение Пиппарда

Литература

• Шаблон:Книга