Формулы векторного анализа

Обозначения

• оператор набла: $\mathrm{\nabla }$
• градиент скалярного поля: $\mathrm{\nabla }\psi =\mathrm{grad}\psi$
• дивергенция векторного поля: $\mathrm{\nabla }\cdot 𝐀=\mathrm{div}𝐀$
• ротор векторного поля: $\mathrm{\nabla }\times 𝐀=\mathrm{rot}𝐀$
• лапласиан: $\Delta ={\mathrm{\nabla }}^2=\mathrm{\nabla }\cdot \mathrm{\nabla }$

Линейность

Для любого числа $\alpha$:

$\mathrm{\nabla }(\alpha \varphi +\psi )=\alpha \mathrm{\nabla }\varphi +\mathrm{\nabla }\psi$	$𝐠𝐫𝐚𝐝(\alpha \varphi +\psi )=\alpha 𝐠𝐫𝐚𝐝\varphi +𝐠𝐫𝐚𝐝\psi$
$\mathrm{\nabla }\cdot (\alpha 𝐀+𝐁)=\alpha \mathrm{\nabla }\cdot 𝐀+\mathrm{\nabla }\cdot 𝐁$	$𝐝𝐢𝐯(\alpha 𝐀+𝐁)=\alpha 𝐝𝐢𝐯𝐀+𝐝𝐢𝐯𝐁$
$\mathrm{\nabla }\times (\alpha 𝐀+𝐁)=\alpha \mathrm{\nabla }\times 𝐀+\mathrm{\nabla }\times 𝐁$	$𝐫𝐨𝐭(\alpha 𝐀+𝐁)=\alpha 𝐫𝐨𝐭𝐀+𝐫𝐨𝐭𝐁$

Операторы второго порядка

$\mathrm{\nabla }\times (\mathrm{\nabla }\psi )=0$	$𝐫𝐨𝐭(𝐠𝐫𝐚𝐝\psi )=0$
$\mathrm{\nabla }\cdot (\mathrm{\nabla }\times 𝐀)=0$	$𝐝𝐢𝐯(𝐫𝐨𝐭𝐀)=0$
$\Delta \psi =\mathrm{\nabla }\cdot (\mathrm{\nabla }\psi )={\mathrm{\nabla }}^2\psi$	$\Delta \psi =𝐝𝐢𝐯(𝐠𝐫𝐚𝐝\psi )$
$\mathrm{\nabla }\times \mathrm{\nabla }\times 𝐀=\mathrm{\nabla }(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐀)-{\mathrm{\nabla }}^2𝐀$	$𝐫𝐨𝐭(𝐫𝐨𝐭𝐀)=𝐠𝐫𝐚𝐝(𝐝𝐢𝐯𝐀)-\Delta 𝐀$

Дифференцирование произведений полей

$\mathrm{\nabla }\cdot (\psi 𝐀)=𝐀\cdot \mathrm{\nabla }\psi +\psi \mathrm{\nabla }\cdot 𝐀$	$𝐝𝐢𝐯(\psi 𝐀)=𝐀\cdot 𝐠𝐫𝐚𝐝\psi +\psi 𝐝𝐢𝐯𝐀$
$\mathrm{\nabla }\times (\psi 𝐀)=\mathrm{\nabla }\psi \times 𝐀+\psi \mathrm{\nabla }\times 𝐀$	$𝐫𝐨𝐭(\psi 𝐀)=𝐠𝐫𝐚𝐝\psi \times 𝐀+\psi 𝐫𝐨𝐭𝐀$
$\mathrm{\nabla }(𝐀\cdot 𝐁)=(𝐀\cdot \mathrm{\nabla })𝐁+(𝐁\cdot \mathrm{\nabla })𝐀+$ $+𝐀\times (\mathrm{\nabla }\times 𝐁)+𝐁\times (\mathrm{\nabla }\times 𝐀)$	$𝐠𝐫𝐚𝐝(𝐀\cdot 𝐁)=(𝐀\cdot \mathrm{\nabla })𝐁+(𝐁\cdot \mathrm{\nabla })𝐀+$ $+𝐀\times 𝐫𝐨𝐭𝐁+𝐁\times 𝐫𝐨𝐭𝐀$
$\frac{1}{2}\mathrm{\nabla }{A}^2=𝐀\times (\mathrm{\nabla }\times 𝐀)+(𝐀\cdot \mathrm{\nabla })𝐀$	$\frac{1}{2}𝐠𝐫𝐚𝐝A^2=𝐀\times (𝐫𝐨𝐭𝐀)+(𝐀\cdot \mathrm{\nabla })𝐀$
$\mathrm{\nabla }\cdot (𝐀\times 𝐁)=𝐁\cdot \mathrm{\nabla }\times 𝐀-𝐀\cdot \mathrm{\nabla }\times 𝐁$	$𝐝𝐢𝐯(𝐀\times 𝐁)=𝐁\cdot 𝐫𝐨𝐭𝐀-𝐀\cdot 𝐫𝐨𝐭𝐁$
$\mathrm{\nabla }\times (𝐀\times 𝐁)=𝐀(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐁)-𝐁(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐀)+$ $+(𝐁\cdot \mathrm{\nabla })𝐀-(𝐀\cdot \mathrm{\nabla })𝐁$	$𝐫𝐨𝐭(𝐀\times 𝐁)=𝐀(𝐝𝐢𝐯𝐁)-𝐁(𝐝𝐢𝐯𝐀)+$ $+(𝐁\cdot \mathrm{\nabla })𝐀-(𝐀\cdot \mathrm{\nabla })𝐁$

См. также

• Векторный анализ
• Теорема Стокса
• Оператор набла в различных системах координат