Статистическая оценка

Статистическая оценка — это статистика, которая используется для оценивания неизвестных параметров распределений случайной величины.

Определение

Например, если $X_1,\dots ,X_n$ — это независимые случайные величины, с заданным нормальным распределением $N(\mu ,1)$, то $\mu$ будет средним арифметическим результатов наблюдений.

Задача статистической оценки формулируется так:

Пусть $\xi =({\xi }_1,\dots ,{\xi }_n)$ — выборка из генеральной совокупности с распределением $F_{\xi }(x,\theta )$. Распределение $F_{\xi }$ имеет известную функциональную форму, но зависит от неизвестного параметра $\theta$. Этот параметр может быть любой точкой заданного параметрического множества $\mathrm{\Theta }$. Используя статистическую информацию, содержащуюся в выборке $\xi$, сделать выводы о настоящем значении параметра $\theta$.

Точечная оценка

Шаблон:Main Оценка является случайной величиной так как представляет собой функцию от случайных величин $X_1,\dots ,X_n$:

$\hat{\theta }=\hat{\theta }(X_1,\dots ,X_n)$

Функция распределения оценки зависит от распределения величины $X$ (и от параметра $\theta$), а также от размера выборки $n$.

Оценка $\hat{\theta }$ может обладать рядом «хороших» свойств:

• Состоятельная оценка — при увеличении числа опытов оценка $\hat{\theta }$ сходится по вероятности к параметру $\theta$
• Несмещённая оценка — если математическое ожидание оценки совпадает с оцениваемым параметром $M[\hat{\theta }]=\theta$
• Эффективная оценка — если дисперсия несмещённой оценки $D[\hat{\theta }]$ является минимальной по сравнению с другими оценками

На практике не всегда есть возможность получать оценки с заданными свойствами, из-за чего приходится довольствоваться компромиссными вариантами.

Интервальная оценка

Шаблон:Main Для оценивания промежутка, на котором лежит оцениваемый параметр $\theta$, можно использовать следующие методы:

• Метод доверительных интервалов
• Метод фидуциальных интервалов
• Шаблон:Нп2

См. также

• Достаточная статистика

Литература

•  Вентцель Е. С. Теория вероятностей. — М.: Наука, 1969.
• Кендалл Морис Дж., Стьюарт Алан. Статистические выводы и связи. — М.: Наука. 1973.

Ссылки

• vseslova — Статистические оценки
• Shao, Jun (1998), Mathematical Statistics, New York: Springer, ISBN 0-387-98674-X
• Bol’shev, L. N. (2001), Statistical Estimator, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104