Эффективная оценка

Эффекти́вная оце́нка в математической статистике — наилучшая оценка в классе $\mathrm{K}$ в среднеквадратичном смысле.

Определение

Оценка ${\hat{\theta }}_1\in \mathrm{K}$ параметра $\theta$ называется эффективной оценкой в классе $\mathrm{K}$, если для любой другой оценки ${\hat{\theta }}_2\in \mathrm{K}$ выполняется неравенство $M_{\theta }({\hat{\theta }}_1-\theta {)}^2⩽M_{\theta }({\hat{\theta }}_2-\theta {)}^2$ для любого $\theta$.

Особую роль в математической статистике играют несмещенные оценки. Если несмещенная оценка ${\hat{\theta }}_1$ является эффективной оценкой в классе несмещенных и дисперсия совпадает с оценкой в неравенстве Крамера-Рао, то такую статистику принято называть просто эффективной.

Единственность

Эффективная оценка $\hat{\theta }$ в классе ${\mathrm{K}}_b=\{E(\hat{\theta })=c(\theta )\}$, где $c(\theta )$ — некоторая функция, существует и единственна с точностью до значений на множестве $A$, вероятность попасть в которое равна нулю ($P(x\in A)=0$).

Асимптотическая эффективность

Некоторые оценки могут быть не самыми эффективными на малых выборках, однако могут обладать преимуществами на больших выборках. Обычно рассматриваются состоятельные оценки, дисперсия которых с увеличением объема выборки стремится к нулю. Поэтому сравнить такие оценки можно по скорости сходимости, то есть фактически по дисперсии (ковариационной матрицы) случайной величины (вектора) $\sqrt{n}\hat{\theta }$. В частности, асимптотически нормальная оценка

$\sqrt{n}(\hat{\theta }-\theta )\stackrel{d}{\to }N(0,V)$

является асимптотически эффективной, если асимптотическая ковариационная матрица V минимальна в данном классе оценок.

См. также

• Статистическая оценка
• Неравенство Крамера — Рао