Доверительный интервал

Довери́тельный интерва́л — термин, используемый в математической статистике при интервальной оценке статистических параметров, более предпочтительной при небольшом объёме выборки, чем точечная. Доверительным называют интервал, который покрывает неизвестный параметр с заданной надёжностью.

Доверительным называется интервал, в который попадают измеренные в эксперименте значения, соответствующие доверительной вероятности.

Метод доверительных интервалов разработал американский статистик Ежи Нейман, исходя из идей английского статистика Рональда Фишера.

Определение

Доверительным интервалом параметра $\theta$ распределения случайной величины $X$ с уровнем доверия $p$, порождённым выборкой $(x_1,\dots ,x_n)$, называется интервал с границами $l(x_1,\dots ,x_n)$ и $u(x_1,\dots ,x_n)$, которые являются реализациями случайных величин $L(X_1,\dots ,X_n)$ и $U(X_1,\dots ,X_n)$, таких, что

$\mathbb{P}(L⩽\theta ⩽U)=p$.

Граничные точки доверительного интервала $l$ и $u$ называются доверительными пределамиШаблон:Sfn.

Вероятность, с которой в условиях данного эксперимента полученные экспериментальные данные можно считать надежными (достоверными), называют доверительной вероятностью или надежностью. Величина доверительной вероятности определяется характером производимых измерений. При выполнении учебных лабораторных работ в курсе общей физики доверительная вероятность обычно считается равной 95 %.

Толкование доверительного интервала, основанное на интуиции, будет следующим: если уровень доверия $p$ велик (скажем, 0,95 или 0,99), то доверительный интервал почти наверняка содержит истинное значение $\theta$.

Еще одно истолкование понятия доверительного интервала: его можно рассматривать как интервал значений параметра $\theta$, совместимых с опытными данными и не противоречащих им.

Более точное, хоть также не совсем строгое, толкование доверительного интервала с уровнем доверия, скажем, 95 %, состоит в следующем. Если провести очень большое количество независимых экспериментов с аналогичным построением доверительного интервала, то в 95 % экспериментов доверительный интервал будет содержать оцениваемый параметр $\theta$ (то есть будет выполняться $L⩽\theta ⩽U$), а в оставшихся 5 % экспериментов доверительный интервал не будет содержать $\theta$.

Примеры

• Доверительный интервал для математического ожидания нормальной выборки.
• Доверительный интервал для дисперсии нормальной выборки.

Байесовский доверительный интервал

В байесовской статистике существует схожее, но отличающееся в некоторых ключевых деталях определение Шаблон:Нп3. Здесь оцениваемый параметр $\theta$ сам считается случайной величиной с некоторым заданным априорным распределением (в простейшем случае — равномерным), а выборка $X$ фиксирована (в классической статистике всё в точности наоборот). Байесовский $p$-доверительный интервал — это интервал $[L,U]$, покрывающий значение параметра $\theta$ с апостериорной вероятностью $p$:

$\mathbb{P}(L⩽\theta ⩽U|X)=p$.

Как правило, классический и байесовский доверительные интервалы различаются. В англоязычной литературе байесовский доверительный интервал принято называть термином credible interval, а классический — confidence interval.

См. также

• Толерантный интервал

Примечания

Источники

Литература

• Шаблон:Книга