Доверительный интервал для дисперсии нормальной выборки

Случай известного среднего

Пусть $X_1,\dots ,X_n\sim 𝒩(\mu ,{\sigma }^2)$ — независимая выборка из нормального распределения, где $\mu$ — известное среднее. Определим произвольное $\alpha \in [0,1]$, называемое уровнем значимости и равное $1-\gamma$ (где $\gamma$ — доверительная вероятность), и построим $\alpha$ — доверительный интервал для неизвестной дисперсии ${\sigma }^2$.

Утверждение. Случайная величина

$H=\frac{\sum _{i=1}^n(X_i-\mu {)}^2}{{\sigma }^2}$

имеет распределение ${\chi }^2(n)$. Пусть ${\chi }_{\alpha ,n}^2$ — $\alpha$-квантиль этого распределения. Тогда имеем:

$\mathbb{P}({\chi }_{\frac{\alpha }{2},n}^2⩽H⩽{\chi }_{1-\frac{\alpha }{2},n}^2)=1-\alpha$.

После подстановки выражения для $H$ и несложных алгебраических преобразований получаем:

$\mathbb{P}(\frac{\sum _{i=1}^n(X_i-\mu {)}^2}{{\chi }_{1-\frac{\alpha }{2},n}^2}⩽{\sigma }^2⩽\frac{\sum _{i=1}^n(X_i-\mu {)}^2}{{\chi }_{\frac{\alpha }{2},n}^2})=1-\alpha$.

Случай неизвестного среднего

Пусть $X_1,\dots ,X_n\sim 𝒩(\mu ,{\sigma }^2)$ — независимая выборка из нормального распределения, где $\mu$, ${\sigma }^2$ — неизвестные константы. Построим доверительный интервал для неизвестной дисперсии ${\sigma }^2$.

Теорема Фишера для нормальных выборок. Случайная величина

$H=\frac{(n-1)S^2}{{\sigma }^2}$,

где $S^2$ — несмещённая выборочная дисперсия, имеет распределение ${\chi }^2(n-1)$. Тогда имеем:

$\mathbb{P}({\chi }_{\frac{\alpha }{2},n-1}^2⩽H⩽{\chi }_{1-\frac{\alpha }{2},n-1}^2)=1-\alpha$.

После подстановки выражения для $H$ и несложных алгебраических преобразований получаем:

$\mathbb{P}(\frac{(n-1)S^2}{{\chi }_{1-\frac{\alpha }{2},n-1}^2}⩽{\sigma }^2⩽\frac{(n-1)S^2}{{\chi }_{\frac{\alpha }{2},n-1}^2})=1-\alpha$.

Ссылки

• http://www.graphpad.com/guides/prism/6/statistics/index.htm?stat_confidence_interval_of_a_stand.htmШаблон:Ref-en