Теорема Фишера для нормальных выборок

Теоре́ма Фи́шера для норма́льных вы́борок в математической статистике — это утверждение, характеризующее распределение выборочной дисперсии.

Формулировка

Пусть $X_1,\dots ,X_n\sim \mathrm{N}(\mu ,{\sigma }^2)$ — независимая выборка из нормального распределения. Пусть $\bar{X}$ — выборочное среднее, а $S^2$ — выборочная дисперсия. Тогда

• $\sqrt{n}\cdot \frac{\bar{X}-\mu }{\sigma }\sim \mathrm{N}(0,1)$
• Случайные величины $\bar{X}$ и $S^2$ независимы;
• Случайная величина

$\frac{(n-1)\cdot S^2}{{\sigma }^2}\sim {\chi }_{n-1}^2$

имеет распределение хи-квадрат с $n-1$ степенями свободы.

См. также

• Доверительный интервал для дисперсии нормальной выборки.