Выборочное среднее

Вы́борочное (эмпири́ческое) сре́днее — это приближение теоретического среднего распределения, основанное на выборке из него.

Определение

Пусть $X_1,\dots ,X_n$ — выборка из распределения вероятности, определённая на некотором вероятностном пространстве $(\mathrm{\Omega },ℱ,\mathbb{P})$. Тогда её выборочным средним называется случайная величина

$\bar{X}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i$.

Свойства выборочного среднего

• Пусть $\hat{F}(x)$ — выборочная функция распределения данной выборки. Тогда для любого фиксированного $\omega \in \mathrm{\Omega }$ функция $\hat{F}(\omega ,x)$ является (неслучайной) функцией дискретного распределения. Тогда математическое ожидание этого распределения равно $\bar{X}(\omega )$.

• Выборочное среднее — несмещённая оценка теоретического среднего:

$𝔼\left[\overline{X}\right]=𝔼[X_i],i=1,\dots ,n$.

• Выборочное среднее — сильно состоятельная оценка теоретического среднего:

$\bar{X}\to 𝔼[X_i]$ почти наверное при $n\to \mathrm{\infty }$.

• Выборочное среднее — асимптотически нормальная оценка. Пусть дисперсия случайных величин $X_i$ конечна и ненулевая, то есть $\mathrm{D}[X_i]={\sigma }^2<\mathrm{\infty },{\sigma }^2=0,i=1,\dots ,n$. Тогда

$\sqrt{n}(\bar{X}-𝔼[X_1])\to \mathrm{N}(0,{\sigma }^2)$ по распределению при $n\to \mathrm{\infty }$,

где $\mathrm{N}(0,{\sigma }^2)$ — нормальное распределение со средним $0$ и дисперсией ${\sigma }^2$.

• Выборочное среднее из нормальной выборки — эффективная оценка её среднего.

См. также

• Выборочная дисперсия
• Выборочные моменты