Асимптотически нормальная оценка

Асимптоти́чески норма́льная оце́нка — в математической статистике оценка, распределение которой стремится к нормальному распределению при увеличении размера выборки.

Определение

Пусть $X_1,\dots ,X_n,\dots$ — выборка из распределения ${\mathbb{P}}_{\theta }$, зависящего от параметра $\theta \in \mathrm{\Theta }$.

Точечная оценка $\hat{\theta }$ называется асимптотически нормальной с дисперсией $\sigma {}^2(\theta )$, если

$\sqrt{n}(\hat{\theta }-\theta )\to Z$ по распределению при $n\to \mathrm{\infty }$,

где $Z\sim \mathrm{N}(0,{\sigma }^2(\theta ))$ - нормальная случайная величина.

Замечание

Эквивалентно, оценка $\hat{\theta }$ асимптотически нормальна, если

$\frac{\sqrt{n}(\hat{\theta }-\theta )}{\sigma (\theta )}\to \tilde{Z}$ по распределению при $n\to \mathrm{\infty }$,

где $\tilde{Z}\sim \mathrm{N}(0,1)$.

Свойства

• Асимптотически нормальная оценка $\hat{\theta }$ состоятельна.
• При выполнении достаточно общих технических условий оценка метода моментов асимптотически нормальна.

Примеры

• Пусть $X_1,\dots ,X_n,\dots \sim \mathrm{U}[0,\theta ]$ - выборка из непрерывного равномерного распределения, где $\theta >0$. Пусть

${\hat{\theta }}_1=2\overline{X}$,

где $\overline{X}$ - выборочное среднее, а

${\hat{\theta }}_2=X_{(n)}$,

где $X_{(n)}=max(X_1,\dots ,X_n)$. Тогда оценка ${\hat{\theta }}_1$ является асимптотически нормальной с дисперсией ${\sigma }^2(\theta )={\theta }^2/3$, а оценка ${\hat{\theta }}_2$ не является асимптотически нормальной.