Доверительный интервал для математического ожидания нормальной выборки

Шаблон:К удалению Доверительный интервал для математического ожидания — интервал, который с известной вероятностью содержит математическое ожидание генеральной совокупности.

Случай известной дисперсии

Пусть $X_1,\dots ,X_n\sim \mathrm{N}(\mu ,{\sigma }^2)$ — независимая выборка из нормального распределения, где ${\sigma }^2$ — известная дисперсия. Определим произвольное $\alpha \in [0,1]$ и построим доверительный интервал для неизвестного среднего $\mu$.

Утверждение. Случайная величина

$Z=\frac{\overline{X}-\mu }{\sigma /\sqrt{n}}$

имеет стандартное нормальное распределение $\mathrm{N}(0,1)$. Пусть $z_{\alpha }$ — это $\alpha$-квантиль стандартного нормального распределения. Тогда в силу симметрии последнего имеем:

$\mathbb{P}(-z_{1-\frac{\alpha }{2}}\le Z\le z_{1-\frac{\alpha }{2}})=1-\alpha$.

После подстановки выражения для $Z$ и несложных алгебраических преобразований получаем:

$\mathbb{P}(\overline{X}-z_{1-\frac{\alpha }{2}}\frac{\sigma }{\sqrt{n}}\le \mu \le \overline{X}+z_{1-\frac{\alpha }{2}}\frac{\sigma }{\sqrt{n}})=1-\alpha$.

Случай неизвестной дисперсии

Пусть $X_1,\dots ,X_n\sim \mathrm{N}(\mu ,{\sigma }^2)$ — независимая выборка из нормального распределения, где $\mu ,{\sigma }^2$ — неизвестные константы. Построим доверительный интервал для неизвестного среднего $\mu$.

Утверждение. Случайная величина

$T=\frac{\overline{X}-\mu }{S/\sqrt{n}}$,

где $S$ — несмещённое выборочное стандартное отклонение, имеет распределение Стьюдента с $n-1$ степенями свободы $\mathrm{t}(n-1)$. Пусть $t_{\alpha ,n-1}$ — $\alpha$-квантили распределения Стьюдента. Тогда в силу симметрии последнего имеем:

$\mathbb{P}(-t_{1-\frac{\alpha }{2},n-1}\le T\le t_{1-\frac{\alpha }{2},n-1})=1-\alpha$.

После подстановки выражения для $T$ и несложных алгебраических преобразований получаем:

$\mathbb{P}(\overline{X}-t_{1-\frac{\alpha }{2},n-1}\frac{S}{\sqrt{n}}\le \mu \le \overline{X}+t_{1-\frac{\alpha }{2},n-1}\frac{S}{\sqrt{n}})=1-\alpha$.