Дифференциальное уравнение Бернулли

Обыкновенное дифференциальное уравнение вида:

$y^{\prime }+a(x)y=b(x)y^n,n\ne 0,1$

называется уравнением Бернулли (при $n=0$ или $n=1$ получаем неоднородное или однородное линейное уравнение).

При $n=2$ является частным случаем уравнения Риккати. Названо в честь Якоба Бернулли, опубликовавшего это уравнение в 1695 году.

Метод решения с помощью замены, сводящей это уравнение к линейному, нашёл его брат Иоганн Бернулли в 1697 году.

Метод решения

Первый способ

Разделим все члены уравнения на $y^n,$ получим

$\frac{dy}{dx}{y}^{-n}+a(x)y^{1-n}=b(x).$

Делая замену $z=y^{1-n}$ и дифференцируя, получаем:

$\frac{dz}{dx}=(1-n)y^{-n}\frac{dy}{dx}.$

Это уравнение приводится к линейному:

$\frac{dz}{dx}+(1-n)a(x)z=(1-n)b(x)$

и может быть решено методом Лагранжа (вариации постоянной) или методом интегрирующего множителя.

Второй способ

Заменим $y=uv,$ тогда:

$\dot{u}v+u(\dot{v}+a(x)v)=b(x)(uv{)}^n.$

Подберем $v(x)\equiv ̸0$ так, чтобы было

$\dot{v}+a(x)v=0,$

для этого достаточно решить уравнение с разделяющимися переменными 1-го порядка. После этого для определения $u$ получаем уравнение $\frac{\dot{u}}{u^n}=b(x)v^{n-1}$ — уравнение с разделяющимися переменными.

Пример

Решить уравнение $y^{\prime }-\frac{2y}{x}=-x^2{y}^2$.

Решение. Разделим на $y^2,$ получаем:

$y^{\prime }{y}^{-2}-\frac{2}{x}{y}^{-1}=-x^2.$

Замена переменных $w=\frac{1}{y}$ даёт:

$w^{\prime }=\frac{-y^{\prime }}{y^2},$

$w^{\prime }+\frac{2}{x}w=x^2.$

$M(x)=e^{-2\int \frac{1}{x}dx}=x^{-2}.$

Делим на $M(x)$,

$w^{\prime }{x}^2+2xw=x^4,$

$\int (w{x}^2{)}^{\prime }dx=\int x^{4}dx$

$w{x}^2=\frac{1}{5}{x}^5+C$

$\frac{1}{y}{x}^2=\frac{1}{5}{x}^5+C.$

Результат:

$y=\frac{x^2}{\frac{1}{5}{x}^5+C}.$

Литература

• А. Ф. Филиппов. Сборник задач по дифференциальным уравнениям, — Любое издание.
• В. В. Степанов. Курс дифференциальных уравнений, — Любое издание.
• Зеликин М. И. Однородные пространства и уравнение Риккати в вариационном исчислении, — Факториал, Москва, 1998.