Однородное дифференциальное уравнение

Существует два понятия однородности дифференциальных уравнений.

Однородность по аргументу

Обыкновенное уравнение первого порядка $y^{\prime }=f(x,y)$ называется однородным относительно x и y, если функция $f(x,y)$ является однородной степени 0:

$f(\lambda x,\lambda y)={\lambda }^{0}f(x,y)=f(x,y)$.

Однородную функцию можно представить как функцию от $\frac{y}{x}$:

$f(x,y)=f(1,\frac{y}{x})=g\left(\frac{y}{x}\right)$.

Используем подстановку $\frac{y}{x}=u$, а затем воспользуемся правилом произведения: $\frac{d(ux)}{dx}=x\frac{du}{dx}+u\frac{dx}{dx}=x\frac{du}{dx}+u$. Тогда дифференциальное уравнение $y^{\prime }=f(x,y)$ сводится к уравнению с разделяющимися переменными:

$u^{\prime }x+u=g(u)\Rightarrow \frac{du}{u-g(u)}+\frac{dx}{x}=0$.

Однородность по правой части

Дифференциальное уравнение является однородным, если оно не содержит свободного члена — слагаемого, не зависящего от неизвестной функции. Так, можно говорить, что уравнение $F(y,y^{\prime },y^{″},\dots )=G(x)$ — однородно, если $G(x)\equiv 0$.

В случае, если $G(x)\ne 0$, говорят о неоднородном дифференциальном уравнении.

Именно для решения линейных однородных дифференциальных уравнений была построена целая теория, чему способствовало выполнение у них принципа суперпозиции.

См. также

• Однородная функция
• Однородное уравнение
• Уравнение, приводящее к однородному