Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка

Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка — класс дифференциальных уравнений первого порядка, наиболее легко поддающихся решению и исследованию. К нему относятся уравнения в полных дифференциалах, уравнения с разделяющимися переменными, однородные уравнения первого порядка и линейные уравнения первого порядка. Все эти уравнения можно проинтегрировать в конечном виде.

Отправной точкой изложения будет служить дифференциальное уравнение первого порядка, записанное в т. н. симметричной форме:

$\begin{array}{c}P(t,x)dt+Q(t,x)dx=0\end{array}(1),$

где функции $P(t,x)$ и $Q(t,x)$ определены и непрерывны в некоторой области $\mathrm{\Omega }\subseteq {ℝ}_{t,x}^2$.

Уравнения в полных дифференциалах

Если в уравнении (1) левая часть представляет собой полный дифференциал, то есть $\begin{array}{c}P(t,x)dt+Q(t,x)dx=dU(t,x)\end{array}$, то такое уравнение называется уравнением в полных дифференциалах (частный случай так называемого пфаффова уравнения). Интегральные кривые такого уравнения суть линии уровней функции $U(t,x)$, т.е. определяются уравнением $U(t,x)=C$ при всевозможных значениях произвольной постоянной $C$.

Если в области $\mathrm{\Omega }$ выполнено условие $Q(t,x)\ne 0$ , то общее решение уравнения (1) определяется из уравнения $U(t,x)=C$ как неявная функция $x=\phi (t,C)$. Через каждую точку области $\mathrm{\Omega }$ проходит единственная интегральная кривая $x=\phi (t,C)$ уравнения (1).

Если рассматриваемая область $\mathrm{\Omega }$ односвязна, а производные $\frac{\partial P}{\partial x},\frac{\partial Q}{\partial t}$также непрерывны в $\mathrm{\Omega }$, то для того, чтобы (1) было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно выполнения условия

$\frac{\partial P}{\partial x}=\frac{\partial Q}{\partial t}\mathrm{\forall }(t,x)\in \mathrm{\Omega }$

(признак уравнения в полных дифференциалах).

Интегрирующий множитель

Шаблон:Falseredirect Непрерывная функция $\mu (t,x)\ne 0$ в $\mathrm{\Omega }$ называется интегрирующим множителем уравнения (1), если уравнение $\mu (Pdt+Qdx)=0$ является уравнением в полных дифференциалах, то есть $\mu (Pdt+Qdx)=dU$ для некоторой функции $U(t,x)$. Число интегрирующих множителей данного уравнения бесконечно.

Функция $\mu (t,x)$ является интегрирующим множителем уравнения (1) тогда и только тогда, когда она удовлетворяет уравнению

$\frac{\partial \left(\mu P\right)}{\partial x}=\frac{\partial \left(\mu Q\right)}{\partial t}\left(2\right)$

(область $\mathrm{\Omega }$ по-прежнему полагаем односвязной; уравнение (2) является следствием признака уравнения в полных дифференциалах).

Уравнение (2) в общем виде решается сложнее, чем (1), но для интегрирования (1) достаточно знать один интегрирующий множитель, то есть найти какое-либо одно решение уравнения (2). Обычно ищут решение (2) в виде $\mu =\mu (t)$ или $\mu =\mu (x)$, но это не всегда возможно.

Алгоритм решения

(1) $\begin{array}{c}P(t,x)dt+Q(t,x)dx=0\end{array}$

(2) $\begin{array}{c}P{\text{'}}_x(t,x)=Q{\text{'}}_t(t,x)\end{array}$

(3) $\begin{array}{c}U{\text{'}}_t=P(t,x),U{\text{'}}_x=Q(t,x)\end{array}$

Возьмём (3).1 и проинтегрируем по переменной t:

(*) $\begin{array}{c}U(t,x)=\int P(t,x)dt+\phi (x)\end{array}$

Подставим в (3).2:

$\begin{array}{c}U{\text{'}}_x(t,x)=(\int P(t,x)dt){\text{'}}_x+\phi {\text{'}}_x(x)\end{array}$

В получившемся равенстве слагаемые, содержащие t, уничтожатся. Получим: $\begin{array}{c}\phi {\text{'}}_x(x)=g(x)\end{array}$. Проинтегрируем по x и подставим в (*).

Уравнения с разделяющимися переменными

Если в уравнении (1) $P(t,x)=T_1(t)X_1(x),Q(t,x)=T_2(t)X_2(x)$, то это уравнение с разделяющимися переменными. Его можно записать в симметричном виде:

$T_1(t)X_1(x)dt+T_2(t)X_2(x)dx=0\left(3\right)$

• Решения уравнения с разделяющимися переменными
  • Решения уравнения $X_1(x)T_2(t)=0$ являются решениями (3).
  • Если область $\mathrm{\Omega }$ выбрана так, что $X_1(x)T_2(t)\ne 0\mathrm{\forall }(t,x)\in \mathrm{\Omega }$, то разделив на $X_1(x)T_2(t)$ получим уравнение с разделёнными переменными

$\frac{T_1}{T_2}dt+\frac{X_2}{X_1}dx=0.$

Это частный случай уравнения в полных дифференциалах. Для него очень просто получить решение в квадратурах. Интегральная кривая уравнения (3), проходящая через точку $(t_0,x_0)\in \mathrm{\Omega }$, имеет вид:

$\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}\frac{T_1}{T_2}dt+\underset{x_0}{\overset{x}{\int }}\frac{X_2}{X_1}dx=0.$

Пример дифференциального уравнения

$y^{\prime }=\frac{y}{x}+co{s}^2\frac{y}{x}$