Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами

Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами — обыкновенное дифференциальное уравнение вида:

$\sum _{k=0}^n{a}_k{y}^{(k)}(t)=a_n{y}^{(n)}+a_{n-1}{y}^{(n-1)}+\dots +a_1{y}^{\prime }+a_{0}y=f(t)$

где

• $y=y(t)$ — искомая функция,
• $y^{(k)}=y^{(k)}(t)$ — её $k$-я производная,
• $a_0,a_1,a_2,\dots a_n$ — фиксированные числа,
• $f(t)$ — заданная функция (когда $f(t)\equiv 0$, имеем линейное однородное уравнение, иначе — линейное неоднородное уравнение).

Однородное уравнение

Определение

Корень кратности $k$ многочлена $a_0{x}^n+a_1{x}^{n-1}+\dots +a_n$ это число $c$, такое что этот многочлен делится без остатка на $(x-c{)}^k$, но не на $(x-c{)}^{k+1}$.

Уравнение порядка n

Однородное уравнение:

$a_n{y}^{(n)}+a_{n-1}{y}^{(n-1)}+\dots +a_1{y}^{\prime }+a_{0}y=0$

интегрируется следующим образом:

Пусть ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_k$ — все различные корни характеристического многочлена, являющегося левой частью характеристического уравнения

$a_n{\lambda }^n+a_{n-1}{\lambda }^{n-1}+\dots +a_1\lambda +a_0=0$

кратностей $m_1,m_2,\dots ,m_k$, соответственно, $m_1+m_2+\dots +m_k=n$.

Тогда функции

$t^{\nu }{e}^{{\lambda }_{j}t},1\le j\le k,0\le \nu \le m_j-1$

являются линейно независимыми (вообще говоря, комплексными) решениями однородного уравнения, они образуют фундаментальную систему решений.

Общее решение уравнения является линейной комбинацией с произвольными постоянными (вообще говоря, комплексными) коэффициентами фундаментальной системы решений.

Воспользовавшись формулой Эйлера для пар комплексно сопряженных корней ${\lambda }_j={\alpha }_j\pm i{\beta }_j,1\le j\le k$ можно заменить соответствующие пары комплексных функций в фундаментальной системе решений парами вещественных функций вида

$t^{\nu }{e}^{{\alpha }_{j}t}\cos ({\beta }_{j}t),t^{\nu }{e}^{{\alpha }_{j}t}\sin ({\beta }_{j}t),j\in \overline{1\dots k},0\le \nu \le m_j-1$

и построить общее решение уравнения в виде линейной комбинации с произвольными вещественными постоянными коэффициентами.

Уравнение второго порядка

Однородное уравнение второго порядка:

$a_2{y}^{″}+a_1{y}^{\prime }+a_{0}y=0$

интегрируется следующим образом:

Пусть ${\lambda }_1,{\lambda }_2$ — корни характеристического уравнения

$a_2{\lambda }^2+a_1\lambda +a_0=0$,

являющегося квадратным уравнением.

Вид общего решения однородного уравнения зависит от значения дискриминанта $\mathrm{\Delta }=a_1^2-4a_2{a}_0$:

• при $\mathrm{\Delta }>0$ уравнение имеет два различных вещественных корня

${\lambda }_{1,2}={\alpha }_{1,2}=\frac{-a_1\pm \sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a_2}.$

Общее решение имеет вид:

$y(t)=c_1{e}^{{\alpha }_{1}t}+c_2{e}^{{\alpha }_{2}t}$

• при $\mathrm{\Delta }=0$ — два совпадающих вещественных корня

${\lambda }_1={\lambda }_2=\alpha =\frac{-a_1}{2a_2}.$

Общее решение имеет вид:

$y(t)=c_1{e}^{\alpha t}+c_{2}t{e}^{\alpha t}$

• при $\mathrm{\Delta }<0$ существуют два комплексно сопряженных корня

${\lambda }_{1,2}=\alpha \pm i\beta =\frac{-a_1}{2a_2}\pm i\frac{\sqrt{|\mathrm{\Delta }|}}{2a_2}.$

Общее решение имеет вид:

$y(t)=c_1{e}^{\alpha t}\cos (\beta t)+c_2{e}^{\alpha t}\sin (\beta t)$

Неоднородное уравнение

Неоднородное уравнение интегрируется методом вариации произвольных постоянных (Метод Лагранжа).

Вид общего решения неоднородного уравнения

Если дано частное решение неоднородного уравнения $y_0(t)$, и $y_1(t),\dots ,y_n(t)$ — фундаментальная система решений соответствующего однородного уравнения, то общее решение уравнения задается формулой

$y(t)=c_1{y}_1(t)+\dots +c_n{y}_n(t)+y_0(t),$

где $c_1,\dots ,c_n$ — произвольные постоянные.

Принцип суперпозиции

Как в общем случае линейных уравнений, имеет место принцип суперпозиции, используемый в разных формулировках принципа суперпозиции в физике.

В случае, когда функция в правой части состоит из суммы двух функций

$f(t)=f_1(t)+f_2(t)$,

частное решение неоднородного уравнения тоже состоит из суммы двух функций

$y_0(t)=y_{01}(t)+y_{02}(t)$,

где $y_{0j}(t),j\in \overline{1,2}$ являются решениями неоднородного уравнения с правыми частями $f_j(t),j\in \overline{1,2}$, соответственно.

Частный случай: квазимногочлен

В случае, когда $f(t)$ — квазимногочлен, то есть

$f(t)=p(t)e^{\alpha t}\cos (\beta t)+q(t)e^{\alpha t}\sin (\beta t)$

где $p(t),q(t)$ — многочлены, частное решение уравнения ищется в виде

$y_0(t)=(P(t)e^{\alpha t}\cos (\beta t)+Q(t)e^{\alpha t}\sin (\beta t))t^s$

где

• $P(t),Q(t)$ многочлены, $deg(P)=deg(Q)=Max(deg(p),deg(q))$, коэффициенты которых находятся подстановкой $y_0(t)$ в уравнение и вычисление методом неопределенных коэффициентов.
• $s$ является кратностью комплексного числа $w=\alpha +i\beta$, как корня характеристического уравнения однородного уравнения.

В частности, когда

$f(t)=p(t)e^{\alpha t}$

где $p(t)$ — многочлен, частное решение уравнения ищется в виде

$y_0(t)=P(t)e^{\alpha t}{t}^s$

Здесь $P(t)$ — многочлен, $deg(P)=deg(p)$, с неопределенными коэффициентами, которые находятся подстановкой $y_0(t)$ в уравнение. $s$ является кратностью $\alpha$, как корня характеристического уравнения однородного уравнения.

Когда же

$f(t)=p(t)$

где $p(t)$ — многочлен, частное решение уравнения ищется в виде

$y_0(t)=P(t)t^s$

Здесь $P(t)$ — многочлен, $deg(P)=deg(p)$, а $s$ является кратностью нуля, как корня характеристического уравнения однородного уравнения.

Уравнение Коши — Эйлера

Уравнение Коши — Эйлера является частным случаем линейного дифференциального уравнения вида:

$\sum _{k=1}^n{a}_k(\alpha x+\beta {)}^k{y}^{(k)}(x)=a_n(\alpha x+\beta {)}^n{y}^{(n)}(x)+...+a_2(\alpha x+\beta {)}^2{y}^{″}(x)+a_1(\alpha x+\beta )y^{\prime }(x)+a_{0}y(x)=f(x)$,

приводимым к линейному дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами подстановкой вида $(\alpha x+\beta )=e^t$.

Применение

Дифференциальные уравнения являются наиболее часто используемой и классической формой математического описания процессов. Разные формы математических описаний являются инструментальным средством аналитического анализа и синтеза динамических систем и систем автоматического управления. Дифференциальные уравнения, параметры которых зависят от переменных, называются нелинейными и не имеют общих решений. В настоящее время в теории автоматического управления широко используется математический аппарат интегральных преобразований Лапласа и Фурье. Из математики известно, что в частотную область компактно преобразуется д.у. с постоянными коэффициентами и при нулевых начальных условиях. И в теории управления такое уравнение является линейным.

Если динамическая система представлена нелинейными дифференциальными уравнениями математической физики, то для применения классических методов анализа этих систем требуется их линеаризация.

См. также

• Линейная рекуррентная последовательность — дискретный аналог линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.