Характеристический многочлен матрицы

Шаблон:Значения Характеристический многочлен матрицы — многочлен, определяющий её собственные значения.

Определение

Для данной матрицы $A$ многочлен $\chi (\lambda )=\det (A-\lambda E)$, где $E$ — единичная матрица, является многочленом от $\lambda$, который называется характеристическим многочленом матрицы $A$ (иногда также «вековым уравнением» (Шаблон:Lang-en)).

Ценность характеристического многочлена в том, что собственные значения матрицы являются его корнями. Действительно, если уравнение $Av=\lambda v$ имеет ненулевое решение, то $(A-\lambda E)v=0$, значит матрица $A-\lambda E$ вырождена и её определитель $\det (A-\lambda E)=\chi (\lambda )$ равен нулю.

Связанные определения

• Матрицу $A-\lambda E$ называют характеристической матрицей матрицы $A$.
• Уравнение $\chi (\lambda )=0$ называют характеристическим уравнением матрицы $A$.
• Характеристический многочлен графа — это характеристический многочлен его матрицы смежности.

Свойства

• Для матрицы $n\times n$ характеристический многочлен имеет степень $n$.
• Все корни характеристического многочлена матрицы являются её собственными значениями.
• Теорема Гамильтона — Кэли: если $\chi (\lambda )$ — характеристический многочлен матрицы $A$, то $\chi (A)=0$.
• Характеристические многочлены подобных матриц совпадают: ${\chi }_{AB{A}^{-1}}={\chi }_B$.
• Характеристический многочлен обратной матрицы: ${\chi }_{A^{-1}}(\lambda )=\frac{(-\lambda {)}^n}{\det A}{\chi }_A(1/\lambda )$.

Доказательство:

$\begin{array}{cc}\det A\cdot {\chi }_{A^{-1}}(\lambda )& =\det A\cdot \det (A^{-1}-\lambda E)=\det (A(A^{-1}-\lambda E))\\ & =\det (E-\lambda A)=(-1{)}^n\det (\lambda A-E)\\ & =(-\lambda {)}^n\det (A-(1/\lambda )E)=(-\lambda {)}^n{\chi }_A(1/\lambda )\end{array}$

• Если $A$ и $B$ — две матрицы $n\times n$, то ${\chi }_{AB}={\chi }_{BA}$. В частности, отсюда вытекает, что след их произведения $\mathrm{t}\mathrm{r}(AB)=\mathrm{t}\mathrm{r}(BA)$ и $\det (AB)=\det (BA)$.
• В более общем виде, если $A$ — матрица $m\times n$, а $B$ — матрица $n\times m$, причем $m<n$, так, что $AB$ и $BA$ — квадратные матрицы размеров $m$ и $n$ соответственно, то:

${\chi }_{BA}(\lambda )={\lambda }^{n-m}{\chi }_{AB}(\lambda )$.

Ссылки

• Шаблон:Книга Шаблон:Wayback