Уравнение Коши — Эйлера

В математике (дифференциальных уравнениях) уравнение Коши — Эйлера (Эйлера — Коши) является частным случаем линейного дифференциального уравнения, приводимым к линейному дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами, которое имеет простой алгоритм решения.

Уравнение порядка n

Общий вид уравнения :

$\sum _{k=0}^n{a}_k(\alpha x+\beta {)}^k{y}^{(k)}(x)=f(x)$.

Его частный случай :

$\sum _{k=0}^n{a}_k{x}^k{y}^{(k)}(x)=f(x)$.

Подстановка

Подстановка вида $(\alpha x+\beta )=e^t$ то есть $t=\ln (\alpha x+\beta )$ приводит уравнение к виду линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.
Действительно, заметим, что ${t_x}^{\prime }=\alpha (\alpha x+\beta {)}^{-1}$, $t_{x^{″}x}=-{\alpha }^2(\alpha x+\beta {)}^{-2}$ и $t_{x^{‴}xx}=+2{\alpha }^3(\alpha x+\beta {)}^{-3}$.
В соответствии с этим:

$y(t)=y(t(x))$

откуда

${y_x}^{\prime }(x)={y_t}^{\prime }(t){t_x}^{\prime }={y_t}^{\prime }(t)\alpha (\alpha x+\beta {)}^{-1}$

таким образом

$(\alpha x+\beta ){y_x}^{\prime }(x)=\alpha {y_t}^{\prime }(t)$

Вычислим очередную производную сложной функции

$y_{x^{″}x}(x)=({y_x}^{\prime }(x){{)}_x}^{\prime }=({y_t}^{\prime }(t){t_x}^{\prime }{{)}_x}^{\prime }=y_{t^{″}t}(t){t_x}^{\prime }{t_x}^{\prime }+{y_t}^{\prime }(t)t_{x^{″}x}=y_{t^{″}t}(t){\alpha }^2(\alpha x+\beta {)}^{-2}+{y_t}^{\prime }(t)(-{\alpha }^2)(\alpha x+\beta {)}^{-2}$,

что приводит к

$(\alpha x+\beta {)}^2{y}_{x^{″}x}(x)={\alpha }^2(y_{t^{″}t}(t)-{y_t}^{\prime }(t))$.

и далее

$y_{x^{‴}xx}(x)=(y_{x^{″}x}(x){{)}_x}^{\prime }=(y_{t^{″}t}(t)({t_x}^{\prime }{)}^2+{y_t}^{\prime }(t)t_{x^{″}x}{{)}_x}^{\prime }=y_{t^{‴}tt}(t){t_x}^{\prime }({t_x}^{\prime }{)}^2+y_{t^{″}t}(t)2{t_x}^{\prime }{t}_{x^{″}x}+y_{t^{″}t}(t){t_x}^{\prime }{t}_{x^{″}x}+{y_t}^{\prime }(t)t_{x^{‴}xx}=$

$=y_{t^{‴}tt}(t)({t_x}^{\prime }{)}^3+3y_{t^{″}t}(t){t_x}^{\prime }{t}_{x^{″}x}+{y_t}^{\prime }(t)t_{x^{‴}xx}=y_{t^{‴}tt}(t){\alpha }^3(\alpha x+\beta {)}^{-3}-3y_{t^{″}t}(t){\alpha }^3(\alpha x+\beta {)}^{-3}+2{y_t}^{\prime }(t){\alpha }^3(\alpha x+\beta {)}^{-3}$

что, аналогично, приводит к

$(\alpha x+\beta {)}^3{y}_{x^{‴}xx}(x)={\alpha }^3(y_{t^{‴}tt}(t)-3y_{t^{″}t}(t)+2{y_t}^{\prime }(t))$

Эта цепь вычислений может быть продолжена до любого порядка n

Пример

Дано неоднородное уравнение

$(2x-1{)}^3{y}^{‴}(x)+4(2x-1{)}^2{y}^{″}(x)-8(2x-1)y^{\prime }(x)=32\ln (2x-1)$.

Определив подстановку $t=\ln (2x-1)$ $((2x-1)=e^t)$, приходим к уравнению

$8(y^{‴}(t)-3y^{″}(t)+2y^{\prime }(t))+4\cdot 4(y^{″}(t)-y^{\prime }(t))-8\cdot 2y^{\prime }(t)=32t$.

После приведения имеем линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами

$y^{‴}(t)-y^{″}(t)-2y^{\prime }(t)=4t$,

решение которого имеет вид

$y(t)=c_1{e}^{-1t}+c_2{e}^{2t}+c_3+t-t^2$

или в терминах $x$

$y(x)=c_1(2x-1{)}^{-1}+c_2(2x-1{)}^2+c_3+ln(2x-1)-ln(2x-1{)}^2$

Уравнение второго порядка

Общий вид уравнения :

$a_2(\alpha x+\beta {)}^2{y}^{″}(x)+a_1(\alpha x+\beta )y^{\prime }(x)+a_{0}y(x)=f(x)$.

Его частный случай :

$a_2{x}^2{y}^{″}(x)+a_{1}x{y}^{\prime }(x)+a_{0}y(x)=f(x)$.

Подстановкой $(\alpha x+\beta )=e^t$ то есть $t=\ln (\alpha x+\beta )$
или, соответственно,

$x=e^t$ то есть $t=\ln x$

приводится к виду линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

$a_2{\alpha }^2{y}^{″}(t)+a_1\alpha y^{\prime }(t)+a_{0}y(t)=f(e^t)$.

или, соответственно,

$a_2{y}^{″}(t)+a_1{y}^{\prime }(t)+a_{0}y(t)=f(e^t)$.

Пример

Дано неоднородное уравнение

$x^2{y}^{″}(x)-2x{y}^{\prime }(x)+2y(x)=6x$.

Определив подстановку $t=\ln x$ ($x=e^t$), приходим к уравнению

$(y^{″}(t)-y^{\prime }(t))-2y^{\prime }(t)+2y(t)=6e^t$.

После приведения имеем линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами

$y^{″}(t)-3y^{\prime }(t)+2y(t)=6e^t$,

решение которого имеет вид

$y(t)=c_1{e}^{+1t}+c_2{e}^{+2t}-6t{e}^{+1t}$

или в терминах $x$

$y(x)=c_{1}x+c_2{x}^2-6x\ln x$

Ещё один способ решения однородного уравнения второго порядка

Рассмотрим однородное уравнения второго порядка вида:

$x^2{y}^{″}(x)+px{y}^{\prime }(x)+qy(x)=0$.

Его решениями являются функции вида:

$y(x)=x^r$,

где $r$ — корни характеристического уравнения

$r^2+(p-1)r+q=0$,

которое совпадает с характеристическим уравнением однородного уравнения с постоянными коэффициентами, полученного из исходного уравнения путём описанной выше замены переменной. Если эти корни будут комплексными, то нужно воспользоваться формулой Эйлера и взять вещественную и мнимую части решения. Если же корни совпадут, то линейно независимыми решениями будут $x^r$ и $\ln (x)x^r$

Пример

Дано однородное уравнение

$x^2{y}^{″}(x)-2x{y}^{\prime }(x)+2y(x)=0$.

Характеристическое уравнение которого имеет вид

$r^2+(-2-1)r+2=0\iff r^2-3r+2=0$,

с решениями $r_1=1$, $r_2=2$.
Тогда общее решение однородного уравнения

$y(x)=c_{1}x+c_2{x}^2$