Уравнение в функциональных производных

Уравнение в функциональных производных — обобщение понятия дифференциального уравнения на случай бесконечного множества переменных. Применяется в функциональном анализе и теоретической физике (уравнение Швингера — Томонаги, уравнения Швингера).

Обыкновенное уравнение в функциональных производных получается с помощью предельного перехода к бесконечному множеству переменных из уравнения в полных дифференциалахШаблон:Sfn:

$du=p_{1}d{x}_1+p_{2}d{x}_2+...+p_{n}d{x}_n$ (1),

где: $u$ и коэффициенты $p_j$ являются функциями от $n$ переменных $x_1,x_2,...,x_n$.

При переходе к пределу $n\to \mathrm{\infty }$ в уравнении (1) сумма превратится в интеграл и оно примет вид:

$\delta U=\underset{0}{\overset{1}{\int }}f[x(t);U,\tau ]\delta x(\tau )d\tau$ (2),

где: $U$ - неизвестный функционал от функции $x(t)$, $\tau$ - переменная интегрирования.

При помощи понятия функциональной производной это уравнение можно записать в виде:

$U_{x(\tau )}^{\text{'}}=f[x(t);U,\tau ]$ (3),

где: $U_{x(\tau )}^{\text{'}}$ - функциональная производная.

Если семейство функций $x(t)$ принадлежит пространству $L_2$ и зависит от числового параметра, то уравнение в функциональных производных превращается в дифференциальное уравнение первого порядка, которое удобно решать методом последовательных приближенийШаблон:Sfn.

Если функционал $U$ зависит не только от функции $x(t)$, но и от одного или нескольких числовых параметров, то уравнение в функциональных производных превращается в интегро-дифференциальное уравнение, для решения которого также можно использовать метод последовательных приближенийШаблон:Sfn.

Литература

• Шаблон:Книга