Уравнение Швингера — Томонаги

Шаблон:Физическая теория Уравне́ние Шви́нгера — Томона́ги, в квантовой теории поля, основное уравнение движенияШаблон:Sfn, обобщающее уравнение Шрёдингера на релятивистский случай.

Волновая функция в релятивистом случае должна быть задана как функционал пространственноподобных гиперповерхностей $\mathrm{\Psi }[\sigma ]$. Уравнение Швингера — Томонаги для волновой функции имеет вид:Шаблон:Sfn

$i\hslash \frac{\delta \mathrm{\Psi }[\sigma ]}{\delta \sigma (x)}=\mathscr{H}(x)\mathrm{\Psi }[\sigma ],$

где $\mathscr{H}(x)$ — плотность гамильтониана

$H(t)=\int \mathscr{H}(x)d^3𝐱.$

$x=(x^0,𝐱)$ — координата в пространстве Минковского ${ℝ}^{1,3}$. Уравнение Швингера — Томонаги для матрицы плотности, также являющая функционалом пространственноподобных гиперповерхностей, имеет вид:Шаблон:Sfn

$i\hslash \frac{\delta \rho [\sigma ]}{\delta \sigma (x)}=[\mathscr{H}(x),\rho [\sigma ]].$

Пространственноподобные гиперповерхности $\sigma$ определяются трёхмерным многообразием в ${ℝ}^{1,3}$, которая может быть расширено во всех пространственноподобных направлениях. Данные многообразия определяются тем, что в каждой точке $x\in \sigma$ гиперповерхность имеет единичный нормальный вектор

$n_{\mu }(x)n^{\mu }(x)=1,$

являющийся времениподобным

$n^0(x)⩾1.$

Уравнение Швингера — Томонаги является функциональным дифференциальным уравнением. Его можно рассматривать как дифференциальное уравнение в континуальном семействе переменных времени.Шаблон:Sfn Для этого необходимо выбрать параметризацию гиперповерхности $\sigma$ координатами $𝐱$ трёхмерного пространства ${ℝ}^3$, тогда точки $x\in \sigma$ могут быть представлены в виде $x=(x^0(𝐱),𝐱)$. Таким образом, каждая точка $𝐱\in {ℝ}^3$ имеет собственную переменную времени $x^0=x^0(𝐱)$.

Функциональная производная в уравнении Швингера — Томонаги

Рассмотрим точку $x\in \sigma$ и варьированную гиперповерхность $\sigma +\delta \sigma$, отличную от $\sigma$ лишь в некоторой окрестности $O_x$ точки $x$. Через $\mathrm{\Omega }(x)$ обозначим объём четырёхмерной области, заключённой между $\sigma$ и $\sigma +\delta \sigma$. Тогда функциональная производная $\frac{\delta }{\delta \sigma (x)}$ произвольного функционала $F[\sigma ]$, приставляющем собой отображение из множества гиперповерхностей в вещественные числа, определяется следующим образомШаблон:Sfn

$\frac{\delta F[\sigma ]}{\delta \sigma (x)}=\underset{\mathrm{\Omega }(x)\to 0}{\lim }\frac{F[\sigma +\delta \sigma ]-F[\sigma ]}{\mathrm{\Omega }(x)}.$

Решение уравнения Швингера — Томонаги

Решение уравнения Швингера — Томонаги для матрицы плотности может быть представлено какШаблон:Sfn

$\rho (\sigma )=U(\sigma ,{\sigma }_0)\rho ({\sigma }_0)U^{†}(\sigma ,{\sigma }_0),$

где $U(\sigma ,{\sigma }_0)$ — унитарный оператор эволюции, имеющий вид

$U(\sigma ,{\sigma }_0)=\mathrm{T}\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}[-i\hslash \underset{{\sigma }_0}{\overset{\sigma }{\int }}\mathscr{H}(x)d^{4}x],$

где $\mathrm{T}\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}$ — упорядоченная по времени экспонента. $\rho ({\sigma }_0)$ — начальная матрица плотности, определённая на начальной гиперповерхности ${\sigma }_0$ . Аналогично, решение уравнения Швингера — Томонаги для волновой функции может быть представлено как

$\mathrm{\Psi }(\sigma )=U(\sigma ,{\sigma }_0)\mathrm{\Psi }({\sigma }_0),$

где $\mathrm{\Psi }({\sigma }_0)$ — начальная волновая функция.

Необходимое условие интегрируемости

Также как дифференциальные уравнения в частных производных требуют для интегрируемости перестановочности этих производных, так и уравнение Швингера — Томонаги для матрицы плотности имеет необходимое условие интегрируемостиШаблон:Sfn, требующее перестановочности вариационных производных в произвольных точках каждой фиксированной пространственноподобной гиперповерхности $\sigma$:

$\frac{{\delta }^2\rho [\sigma ]}{\delta \sigma (x)\delta \sigma (y)}-\frac{{\delta }^2\rho [\sigma ]}{\delta \sigma (y)\delta \sigma (x)}=0,\mathrm{\forall }x,y\in \sigma .$

Это условие является следствием требования микропричинности для плотности гамильтониана $\mathscr{H}(x)$. Оно утверждает, что гамильтонианы для различных точек пространственноподобных интервалов

$[\mathscr{H}(x),\mathscr{H}(y)]=0,(x-y{)}^2<0.$

Действительно, с учётом тождества Якоби, имеем:

$\frac{{\delta }^2\rho [\sigma ]}{\delta \sigma (x)\delta \sigma (y)}-\frac{{\delta }^2\rho [\sigma ]}{\delta \sigma (y)\delta \sigma (x)}=[[\mathscr{H}(x),\mathscr{H}(y)],\rho [\sigma ]]=0,\mathrm{\forall }x,y\in \sigma .$

Условие интегрируемости обеспечивает однозначность решения.

Расслоение пространства-времени и уравнение Шрёдингера

Расслоение пространства ${ℝ}^{1,3}$ определяетсяШаблон:Sfn гладким однопараметрическим семейством

$ℱ=\{\sigma (\tau )\}$

состоящим из пространноподобных гиперповерхностей $\sigma (\tau )$ с тем свойством, что каждая точка $x\in {ℝ}^{1,3}$ принадлежит одной и только одной гиперповерхности $\sigma (\tau )$:

$\mathrm{\forall }x\in {ℝ}^{1,3}\mathrm{\exists }!\tau \in ℝ:x\in \sigma (\tau ).$

Обозначим гиперповерхность, соответствующую точке $x$ как ${\sigma }_x$. Фиксированное расслоение $ℱ$ порождает семейство векторов-состояний

$|\mathrm{\Psi }(\tau )⟩=\mathrm{\Psi }(\sigma (\tau )).$

Тогда уравнение Швингера — Томонаги может быть переформулировано в интегральной форме

$|\mathrm{\Psi }(\tau )⟩=|\mathrm{\Psi }(0)⟩-i\hslash \underset{{\sigma }_0}{\overset{\sigma (\tau )}{\int }}\mathscr{H}(x)\mathrm{\Psi }({\sigma }_x)d^{4}x.$

Четырёхмерное интегрирование расширяется на область, окружённую начальной гиперповерхностью ${\sigma }_0=\sigma (0)$ и гиперповерхностью $\sigma (\tau )$ семейства, которое всецело лежит в будущем ${\sigma }_0$.

Пусть гиперповерхности $\sigma (\tau )$ могут быть определены неявным выражением

$\tilde{f}(x,\tau )=0,$

где $\tilde{f}(x,\tau )$ — гладкая скалярная функция. Тогда единичный вектор нормали

$n_{\mu }(x)=\frac{1}{\sqrt{\frac{\partial \tilde{f}(x,t)}{\partial x^{\mu }}\frac{\partial \tilde{f}(x,t)}{\partial x_{\mu }}}}\frac{\partial \tilde{f}(x,t)}{\partial x^{\mu }}.$

Для удобство нормируем функцию $f(x,\tau )=0$ определяющую гиперплоскость так, чтобы исключить нормировочный множитель в формуле для нормали

$n_{\mu }(x)=\frac{\partial f(x,t)}{\partial x^{\mu }}.$

Дифференцируя интегральное уравнение для векторов-состояний

$\frac{d}{d\tau }|\mathrm{\Psi }(\tau )⟩=-\frac{i}{\hslash }\underset{\sigma (\tau )}{\int }\left|\frac{\partial f}{\partial \tau }\right|\mathscr{H}(x)|\mathrm{\Psi }(\tau )⟩d\sigma (x),$

где интегрирование выполняется по гиперповерхности $\sigma (\tau )\in ℱ$. Это уравнение является ковариантным обобщением уравнения Шрёдингера. С учётом

$\underset{\sigma (\tau )}{\int }\left|\frac{\partial f}{\partial \tau }\right|\mathscr{H}(x)d\sigma (x)=\underset{\sigma (\tau )}{\int }\left|n_0\frac{\partial x_0}{\partial \tau }\right|\mathscr{H}(x)d\sigma (x)=H(\tau )$

уравнение движения для векторов-состояния примет вид

$i\hslash \frac{d}{d\tau }|\mathrm{\Psi }(\tau )⟩=H(\tau )|\mathrm{\Psi }(\tau )⟩.$

Историческая справка

Сразу же после появление квантовой механики начали предприниматься попытки построить её релятивистское обобщение. Но на этом пути возникла принципиальная трудность,Шаблон:Sfn связанная с тем, что в формализме квантовой механики время играет существенно выделенную роль, отличную от координат. С другой стороны, в теории относительности время и пространственные координаты должны выступать симметрично как компоненты одного 4-вектора.

Чтобы найти релятивистское обобщение уравнения для эволюции состояний, потребовалось понять, что нерелятивистское время играет сразу две роли, которые при релятивистском обобщении расщепляются. С одной стороны, это индивидуальное время события — именно это время должно быть симметрично координатам, с другой — оно служит параметром эволюции, упорядочивающим события в пространственно разнесённых точках. Релятивистским обобщением этой второй функции времени может служить любая совокупность взаимно пространственноподобных точек, такая, что любая времениподобная мировая линия включает одну и только одну точку этой совокупности. Такой совокупностью является пространственноподобная гиперповерхность $\sigma$.

Уравнение в описанной форме было независимо введено С. Томонагой в 1946 году и Дж. Швингером в 1948 году и послужило основой для построения Лоренц-инвариантной теории возмущений.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга