Оператор эволюции

Оператор эволюции (генератор эволюции во времени)— оператор в квантовой механике, заданный на гильбертовом пространстве, который переводит состояние системы из начального момента времени в любой другой.

Связь оператора эволюции с оператором Гамильтона

Шаблон:Main Оператор эволюции связан с оператором Гамильтона следующими формулами:

$\hat{S}(t,t_0)=T\{\exp \left(-\frac{i}{\hslash }\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}H(t^{\prime })d{t}^{\prime }\right)\},t>t_0$

$\hat{S}(t,t_0)=\bar{T}\{\exp \left(\frac{i}{\hslash }\underset{t}{\overset{t_0}{\int }}H(t^{\prime })d{t}^{\prime }\right)\},t<t_0$

где $T,\bar{T}$ — операторы упорядочивания и анти-упорядочивания по времени.

В частности, если гамильтониан не зависит от времени, то оператор эволюции имеет вид:

$\hat{S}(t,t_0)=e^{-i\hat{H}(t-t_0)/\hslash }$

Свойства оператора эволюции

1. $\hat{S}(t_2,t_1)$ — унитарный оператор.

2. $\hat{S}(t_3,t_2)\hat{S}(t_2,t_1)=\hat{S}(t_3,t_1),\mathrm{\forall }{t}_1,t_2,t_3$.

3. $\hat{S}(t,t_1)\hat{S}(t_1,t)=\hat{I},\mathrm{\forall }{t}_1,t$, где $\hat{I}$ — единичный оператор.

Вывод соотношения между оператором эволюции и гамильтонианом

Согласно постулатам квантовой механики чистое состояние системы описывается вектором из гильбертова пространства $|\mathrm{\Psi }⟩$. Введём оператор $\hat{S}(t,t_0)$, который действует по правилу:

$\hat{S}(t,t_0)|\mathrm{\Psi }(t_0)⟩=|\mathrm{\Psi }(t)⟩$.

Введённый оператор должен быть унитарным, чтобы нормировка вектора состояния сохранялась во времени. В представлении Шрёдингера вектор состояния удовлетворяет уравнению Шрёдингера:

$\hat{H}(t)|\mathrm{\Psi }(t)⟩=i\hslash \frac{\partial }{\partial t}|\mathrm{\Psi }(t)⟩,$

где $\hat{H}(t)$ — оператор Гамильтона.

Если гамильтониан не зависит от времени, то $|\mathrm{\Psi }(t)⟩=e^{-i\hat{H}(t-t_0)/\hslash }|\mathrm{\Psi }(t_0)⟩$ — является решением уравнения Шрёдингера. Отсюда следует, что оператор эволюции имеет вид:

$\hat{S}(t,t_0)=e^{-i\hat{H}(t-t_0)/\hslash }$.

Теперь пусть оператор Гамильтона зависит от времени и пусть $t_0<t$. Тогда разобьём рассматриваемый промежуток времени на интервалы $(t_n,t_{n+1})$ и будем считать, что в каждом из этих интервалов оператор Гамильтона постоянен $\hat{H}(t)=\hat{H}(t_n)$, при $t_n<t\le t_{n+1}$. Тогда в любой момент времени, согласно предыдущим рассуждениям, вектор состояния имеет вид:

$|\mathrm{\Psi }(t)⟩=e^{-i\hat{H}(t_n)(t-t_n)/\hslash }|\mathrm{\Psi }(t_n)⟩=e^{-i\hat{H}(t_n)(t-t_n)/\hslash }\dots e^{-i\hat{H}(t_1)(t_2-t_1)/\hslash }{e}^{-i\hat{H}(t_0)(t_1-t_0)/\hslash }|\mathrm{\Psi }(t_0)⟩$.

Теперь введём оператор упорядочивания по времени $T$, который действует по следующему правилу:

$T\{\hat{H}(t_{P(m)})\hat{H}(t_{P(m-1)})\dots {\hat{H}}_{P(1)}\}=\hat{H}(t_m)\hat{H}(t_{m-1})\dots \hat{H}(t_1)$

при $t_1\le t_2\le \dots \le t_m$, для любой перестановки $P(1,2\dots ,m)$.

С учётом этого волновую функцию можно написать в виде:

$|\mathrm{\Psi }(t)⟩=T\{e^{-i\hat{H}(t_n)(t-t_n)/\hslash }\dots e^{-i\hat{H}(t_1)(t_2-t_1)/\hslash }{e}^{-i\hat{H}(t_0)(t_1-t_0)/\hslash }\}|\mathrm{\Psi }(t_0)⟩$.

Для коммутирующих операторов $\hat{A},\hat{B}$ справедливо, что $e^{\hat{A}}{e}^{\hat{B}}=e^{\hat{A}+\hat{B}}$. Так как операторы под знаком T-упорядочивания коммутируют, то последнее переписывается в виде:

$|\mathrm{\Psi }(t)⟩=T\left\{e^{-i\sum _{i=0}^n\hat{H}(t_i)\mathrm{\Delta }{t}_i/\hslash }\right\}|\mathrm{\Psi }(t_0)⟩$.

При $n\to \mathrm{\infty }$ получаем, что

$|\mathrm{\Psi }(t)⟩=T\left\{e^{-i\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}\hat{H}(t^{\prime })d{t}^{\prime }/\hslash }\right\}|\mathrm{\Psi }(t_0)⟩$.

Поэтому

$\hat{S}(t,t_0)=T\{\exp \left(-\frac{i}{\hslash }\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}H(t^{\prime })d{t}^{\prime }\right)\},t>t_0$.

Теперь рассмотрим оператор $\hat{S}(t,t_0)$ при $t<t_0$. Это то же самое, если рассмотреть $\hat{S}(t_0,t)$ при $t_0<t$. Воспользуемся тем, что $\hat{S}(t_0,t)\hat{S}(t,t_0)=\hat{I}$,

где $\hat{I}$ — единичный оператор.

Тогда:

$\underset{n\to 0}{\lim }\hat{S}(t_0,t)e^{-i\hat{H}(t_n)(t-t_n)/\hslash }\dots e^{-i\hat{H}(t_1)(t_2-t_1)/\hslash }{e}^{-i\hat{H}(t_0)(t_1-t_0)/\hslash }=\hat{I}$

и непосредственной проверкой убеждаемся, что

$\hat{S}(t_0,t)=\underset{n\to 0}{\lim }{e}^{i\hat{H}(t_0)(t-t_0)/\hslash }\dots e^{i\hat{H}(t_{n-1})(t_n-t_{n-1})/\hslash }{e}^{-i\hat{H}(t)(t-t_n)/\hslash }=\bar{T}\{\exp \left(\frac{i}{\hslash }\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}H(t^{\prime })d{t}^{\prime }\right)\},t>t_0$,

где $\bar{T}$ — оператор анти-упорядочивания по времени.

См. также

• Квантовая механика
• Представление Гейзенберга
• Уравнение Шрёдингера
• Оператор (физика)

Литература

• Шаблон:Cite book