Представление Гейзенберга

Шаблон:Физическая теория Представление Гейзенберга — один из способов описания квантовомеханических явлений, в котором эволюция системы описывается уравнением Гейзенберга и определяется только развитием операторов во времени, причём вектор состояния от времени не зависит.

Описание представления Гейзенберга

Согласно постулатам квантовой механики каждой физической величине сопоставляется линейный самосопряжённый оператор $\hat{A}$, а чистое состояние описывается вектором из гильбертова пространства $|\mathrm{\Psi }⟩$. В представлении Гейзенберга вектор состояния от времени не зависит, а эволюция системы описывается уравнением:

$\frac{d}{dt}{\hat{A}}_H(t)=\frac{i}{\hslash }[\hat{H},{\hat{A}}_H(t)]+{\left(\frac{\partial \hat{A}}{\partial t}\right)}_H$

где частная производная означает явную зависимость физической величины от времени.

Связь между операторами в представлении Шрёдингера и Гейзенберга

Пусть $\hat{A}(t)$ - оператор в представлении Шрёдингера, а ${\hat{A}}_H(t)$ - оператор в представлении Гейзенберга. Тогда переход от одного представления к другому определяется унитарным преобразованием:

${\hat{A}}_H(t)=\hat{S}(t_0,t)\hat{A}(t)\hat{S}(t,t_0),$

где $\hat{S}(t,t_0)$ - оператор эволюции:

$\hat{S}(t,t_0)=T\{\exp \left(-\frac{i}{\hslash }\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}H(t^{\prime })d{t}^{\prime }\right)\},t>t_0$

$\hat{S}(t,t_0)=\bar{T}\{\exp \left(\frac{i}{\hslash }\underset{t}{\overset{t_0}{\int }}H(t^{\prime })d{t}^{\prime }\right)\},t<t_0$

где $T,\bar{T}$ - операторы упорядочивания и анти-упорядочивания по времени. В частности, если оператор Гамильтона не зависит от времени, то

$\hat{S}(t,t_0)=\exp \left(-\frac{i}{\hslash }\hat{H}(t-t_0)\right),$

и унитарное преобразование принимает вид:

${\hat{A}}_H(t)=e^{i\hat{H}(t-t_0)/\hslash }\hat{A}(t)e^{-i\hat{H}(t-t_0)/\hslash }.$

Переход от представления Шрёдингера к представлению Гейзенберга

Вектор состояния, в представлении Шрёдингера, удовлетворяет уравнению Шрёдингера:

$\hat{H}(t)|\mathrm{\Psi }(t)⟩=i\hslash \frac{\partial }{\partial t}|\mathrm{\Psi }(t)⟩,$

где $\hat{H}(t)$ - оператор Гамильтона.

Введем оператор эволюции $\hat{S}(t,t_0)$, который переводит состояние системы из начального момента времени в любой другой:

$\hat{S}(t,t_0)|\mathrm{\Psi }(t_0)⟩=|\mathrm{\Psi }(t)⟩.(2)$

Подставив формулу (2) в уравнение Шрёдингера получим, что оператор эволюции удовлетворяет уравнению:

$i\hslash \frac{\partial }{\partial t}\hat{S}(t,t_0)=\hat{H}(t)\hat{S}(t,t_0),(3)$

$\hat{S}(t_0,t_0)=\hat{I},$

где $\hat{I}$ - единичный оператор. В частности, если гамильтониан не зависит от времени, то оператор эволюции имеет вид:

$\hat{S}(t,t_0)=e^{-i\hat{H}(t-t_0)/\hslash }.$

Теперь рассмотрим среднее значение оператора $\hat{A}$ некоторой наблюдаемой величины:

$⟨\hat{A}(t)⟩=⟨\mathrm{\Psi }(t)|\hat{A}(t)|\mathrm{\Psi }(t)⟩=⟨\mathrm{\Psi }(t_0)|\hat{S}(t_0,t)\hat{A}(t)\hat{S}(t,t_0)|\mathrm{\Psi }(t_0)⟩=⟨\mathrm{\Psi }(t_0)|{\hat{A}}_H(t)|\mathrm{\Psi }(t_0)⟩.$

Таким образом, оператор $\hat{A}$ в представлении Гейзенберга определяется формулой:

${\hat{A}}_H(t)=\hat{S}(t_0,t)\hat{A}(t)\hat{S}(t,t_0).(4)$

В частности, если гамильтониан не зависит от времени, то

${\hat{A}}_H(t)=e^{i\hat{H}(t-t_0)/\hslash }\hat{A}(t)e^{-i\hat{H}(t-t_0)/\hslash }.$

Продифференцируем формулу $(4)$ по времени и используем уравнение $(3)$, тогда получим уравнение движения операторa $\hat{A}(t)$ в Гейзенберговском представлении:

$\frac{d}{dt}{\hat{A}}_H(t)=\frac{i}{\hslash }[\hat{H}(t),{\hat{A}}_H(t)]+\frac{\partial }{\partial t}{\hat{A}}_H(t),(5)$

где частная производная обозначает явную зависимость оператора $\hat{A}(t)$ от времени.

Пример. Квантовый гармонический осциллятор.

Оператор Гамильтона квантового гармонического осциллятора в представлении операторов рождения и уничтожения имеет вид:

$\hat{H}=\hslash \omega ({\hat{a}}_H^{†}{\hat{a}}_H+1/2).$

Так как операторы рождения и уничтожения не зависят от времени в представлении Шрёдингера, то уравнение $(5)$ перепишется в виде

$i\hslash \frac{d}{dt}{\hat{a}}_H(t)=-\hslash \omega [{\hat{a}}_H^{†}{\hat{a}}_H+1/2,{\hat{a}}_H(t)],$

$i\hslash \frac{d}{dt}{\hat{a}}_H(t)=\hslash \omega {\hat{a}}_H(t),$

${\hat{a}}_H(t)=\hat{a}{e}^{-i\omega (t-t_0)},$

${\hat{a}}_H^{†}(t)={\hat{a}}^{†}{e}^{i\omega (t-t_0)},$

где были использованы (анти)коммутационные соотношения для операторов уничтожения и рождения $[\hat{a},{\hat{a}}^{†}{]}_{\mp }=1.$

Применение

Представление Гейзенберга используется в релятивистской теории, а также в задачах статистической физики.

См. также

• Квантовая механика
• Представление Шрёдингера
• Представление взаимодействия
• Уравнение Шрёдингера
• Волновая функция
• Оператор (физика)

Литература

• Параграф 6. Представление Шредингера и Гейзенберга // Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В. Квантовые поля. — М.: Наука, 1980. — С. 55-56.
• Шаблон:Книга:Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М.: Квантовая механика Параграф 13. Гейзенберговское представление операторов.
• Параграф 10. Представление Гейзенберга. Глава VIII // Мессиа А. Квантовая механика. — М.: Наука, 1978. — С. 306-307.
• Параграф 3.4. Гейзенберговская картина // Садбери А. Квантовая механика и физика элементарных частиц. — М.: Мир, 1989. — С. 154-155.
• Сербо В. Г., Хриплович И. Б. Квантовая механика: Учебное пособие. — Новосибирск: Изд-во Новосибирского государственного университета, 2008. — 274 c. — ISBN 978-5-94356-642-4

Ссылки

• Шаблон:Из
• Heisenberg picture (англ.)