Уравнения Швингера

Уравне́ния Шви́нгера — система уравнений, связывающих функции Грина в квантовой теории поля. Предложена Джулианом Швингером в 1951 году.

Уравнения Швингера могут быть сформулированы в виде одного уравнения в вариационных производных:

$\{\frac{\overrightarrow{\delta }S(\phi )}{\delta \phi (x)}{|}_{\phi =\chi \frac{\overrightarrow{\delta }}{\delta iA}}+A(x)\}G(A)=0,$

где $S(\phi )$ — функционал действия, $G(A)$ — производящий функционал полных функций Грина. Аргумент функционала $A(x)$ есть классический объект той же природы, что и поле $\phi$, то есть обычная функция для бозонов и антикоммутирующая функция для фермионов, $\frac{\overrightarrow{\delta }}{\delta iA}$ — левая вариационная производная, $\chi =+1$ в бозонном случае, $\chi =-1$ в фермионном случае.

Для теории с полиномиальным по полю действием данное уравнение является уравнением конечного порядка в вариационных производных. Оно определяет решение лишь с точностью до числового множителя — однозначно определяется производящий функционал функции Грина без вакуумных петель $H(A)=G_0^{-1}G(A)$, где $G_0$ — производящий функционал функций Грина свободной теории.

Сделав в уравнении подстановку $G(A)=e^{W(A)}$ и сократив после выполнения дифференцирования множитель $e^{W(A)}$, получим уравнение Швингера для производящего функционала $W(A)$ связных функций Грина $W_n$.

Представив $W(A)$ в виде ряда

$W(A)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{W_n(iA{)}^n}{n!},$

и сравнивая коэффициенты при всех степенях $iA$, получим систему зацепляющихся уравнений для связных функций Грина $W_n$.

Уравнение Швингера в квантовой электродинамике

Для получения уравнений Швингера вводят классические источники внешних полей. Например, в квантовой электродинамике частиц со спином 1/2 в простейшем варианте достаточно ввести в лагранжиан взаимодействие квантованного поля фотонов $A^{\mu }(x)$ с источником внешнего электромагнитного поля $J_{\mu }(x)$ в минимальной форме — $J_{\mu }{A}^{\mu }$. За счёт этого возникает возможность путём функционального варьирования по классическому источнику $J_{\mu }(x)$ получать функции Грина с большим числом фотонных концов. Матрица рассеяния становится функционалом $S[J]$ источника. Удобно также ввести среднее наблюдаемое значение оператора фотонного поля (с учётом квантовых поправок):

${𝒜}^{\mu }(x)=\frac{1}{S_0[J]}⟨0|T\{A^{\mu }(x)S[J]\}|0⟩=i\frac{\delta \ln S_0[J]}{\delta J_{\mu }(x)},$

где $S_0[J]\equiv ⟨0|S[J]|0⟩,\mu =0,1,2,3.$ $⟨0|\cdots |0⟩$ — среднее значение операторов по состояниям вакуума в представлении взаимодействия, символ $T$ обозначает хронологическое упорядочение операторов, $\frac{\delta }{\delta J_{\mu }(x)},$ — вариационная производная.

В итоге для двухточечной фермионной функции Грина

$G(x,y|J)=-\frac{i}{S_0[J]}⟨0|T\{\psi (x)\bar{\psi }(y)S[J]\}|0⟩,$

где $\psi (x)$ — спинорный оператор фермионного (электрон-позитронного) поля, а черта над оператором означает дираковское сопряжение, имеем уравнение типа уравнения Дирака:

$\{{\gamma }_{\mu }[\frac{\partial }{\partial x_{\mu }}-e{𝒜}^{\mu }(x)]-m-ie{\gamma }_{\mu }\frac{\delta }{\delta J_{\mu }(x)}\}G(x,y|J)={\delta }^4(x-y),$

где ${\gamma }_{\mu }$ — матрицы Дирака, $e,m$ — заряд и масса электрона. Для среднего значения оператора фотонного поля ${𝒜}^{\mu }(x)$ получаем уравнение типа уравнения Максвелла (второе слагаемое в правой части уравнения имеет смысл квантовых поправок к классическому току $J$):

$◻{𝒜}^{\mu }(x)=-J_{\mu }(x)+ie\mathrm{T}\mathrm{r}[{\gamma }_{\mu }G(x,x|J)],$

где след берётся по спинорным индексам. Полученные уравнения, позволяющие по заданным источникам $J_{\mu }(x)$ определить $G(x,y|J)$ и ${𝒜}^{\mu }(x)$ , называются уравнениями Швингера.

Двухточечная фотонная функция Грина может быть найдена с помощью соотношения

$G^{\mu \nu }(x,y|J)=-\frac{\delta A^{\mu }(x)}{\delta J^{\nu }(y)}=-i\frac{{\delta }^2\ln S_0[J]}{\delta J_{\mu }(x)\delta J_{\nu }(y)}.$

Величина $Z[J]\equiv i\ln S_0[J]$ называется производящим функционалом.

Трёхточечная вершинная часть определяется следующим образом:

${\mathrm{\Gamma }}_{\mu }(x,y,z)=-\frac{\delta }{\delta A^{\mu }}{G}^{-1}(x,y|J),$

где $G^{-1}$ — обратный оператор фермионной функции Грина. Уравнения Швингера тесно связаны с уравнениями Дайсона. Швингером было выведено также уравнение для четырёхточечной функции Грина двух частиц (фермионов). При отсутствии внешнего поля это уравнение эквивалентно уравнению Бете — Солпитера.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга