Матрицы Дирака

Ма́трицы Дира́ка (также известные как га́мма-ма́трицы) — набор матриц, удовлетворяющих особым антикоммутационным соотношениям. Часто используются в релятивистской квантовой механике.

Определение

Матрицами Дирака называется любой набор матриц, удовлетворяющих уравнению

$\{{\gamma }^{\mu },{\gamma }^{\nu }\}={\gamma }^{\mu }{\gamma }^{\nu }+{\gamma }^{\nu }{\gamma }^{\mu }=2{\eta }^{\mu \nu }I,$

где ${\eta }^{\mu \nu }$ — метрика Минковского сигнатуры $(+---),$ Шаблон:Math — единичная матрица, фигурные скобки обозначают антикоммутатор.

Один из возможных способов выбрать матрицы Дирака в четырёхмерном пространстве такой:

${\gamma }^0=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& -1& 0\\ 0& 0& 0& -1\end{array}\right],{\gamma }^1=\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& -1& 0& 0\\ -1& 0& 0& 0\end{array}\right],{\gamma }^2=\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 0& -i\\ 0& 0& i& 0\\ 0& i& 0& 0\\ -i& 0& 0& 0\end{array}\right],{\gamma }^3=\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& -1\\ -1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\end{array}\right]$

(Дираковское представление; используются также представления Вейля и Майораны).

Пятая гамма-матрица, γ⁵

Полезно определить произведение четырёх гамма-матриц следующим образом:

${\gamma }^5=i{\gamma }^0{\gamma }^1{\gamma }^2{\gamma }^3=\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\end{array}\right]$ (в представлении Дирака).

${\gamma }^5$ можно записать в альтернативном виде:

${\gamma }^5=\frac{i}{4!}{\epsilon }_{\mu \nu \alpha \beta }{\gamma }^{\mu }{\gamma }^{\nu }{\gamma }^{\alpha }{\gamma }^{\beta },$

где ${\epsilon }_{\mu \nu \alpha \beta }$ — тензор Леви-Чивиты.

Эта матрица полезна при обсуждении хиральности в квантовой механике. Так, дираковское спинорное поле можно спроецировать на его левую или правую компоненту:

${\psi }_L=\frac{1-{\gamma }^5}{2}\psi ,{\psi }_R=\frac{1+{\gamma }^5}{2}\psi$.

Некоторые свойства ${\gamma }^5$:

• Эрмитовость:

$({\gamma }^5{)}^{†}={\gamma }^5.$

• Собственные значения равны ±1, поскольку

$({\gamma }^5{)}^2=I.$

• Антикоммутирует с четырьмя другими гамма-матрицами:

$\{{\gamma }^5,{\gamma }^{\mu }\}={\gamma }^5{\gamma }^{\mu }+{\gamma }^{\mu }{\gamma }^5=0.$

Блочная структура

Матрицы Дирака могут быть компактно записаны как блочные матрицы с использованием матриц Паули σ₁, σ₂, σ₃, дополненных единичной матрицей Шаблон:Math. В представлении Дирака:

${\gamma }^0=\left[\begin{array}{cc}I& 0\\ 0& -I\end{array}\right],{\gamma }^1=\left[\begin{array}{cc}0& {\sigma }_1\\ -{\sigma }_1& 0\end{array}\right],{\gamma }^2=\left[\begin{array}{cc}0& {\sigma }_2\\ -{\sigma }_2& 0\end{array}\right],{\gamma }^3=\left[\begin{array}{cc}0& {\sigma }_3\\ -{\sigma }_3& 0\end{array}\right].$

В представлении Вейля ${\gamma }^k$ остаются теми же, но ${\gamma }^0$ отличается, поэтому ${\gamma }^5$ тоже изменена:

${\gamma }^0=\left[\begin{array}{cc}0& I\\ I& 0\end{array}\right],{\gamma }^k=\left[\begin{array}{cc}0& {\sigma }^k\\ -{\sigma }^k& 0\end{array}\right],{\gamma }^5=\left[\begin{array}{cc}-I& 0\\ 0& I\end{array}\right].$

Представление Вейля имеет то преимущество, что в нём хиральные проекции принимают простую форму:

${\psi }_L=\frac{1}{2}(1-{\gamma }^5)\psi =\left[\begin{array}{cc}I& 0\\ 0& 0\end{array}\right]\psi ,{\psi }_R=\frac{1}{2}(1+{\gamma }^5)\psi =\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& I\end{array}\right]\psi .$

Существует также представление Майораны, в котором все гамма-матрицы мнимые, а спиноры вещественные:

${\gamma }^0=\left[\begin{array}{cc}0& {\sigma }_2\\ {\sigma }_2& 0\end{array}\right],{\gamma }^1=\left[\begin{array}{cc}i{\sigma }_3& 0\\ 0& i{\sigma }_3\end{array}\right]$

${\gamma }^2=\left[\begin{array}{cc}0& -{\sigma }_2\\ {\sigma }_2& 0\end{array}\right],{\gamma }^3=\left[\begin{array}{cc}-i{\sigma }_1& 0\\ 0& -i{\sigma }_1\end{array}\right],{\gamma }^5=\left[\begin{array}{cc}{\sigma }_2& 0\\ 0& -{\sigma }_2\end{array}\right].$

В современной науке основным является определяющее свойство гамма-матриц, а не их числовое представление.

Тождества

№	Тождество
1	${\gamma }^{\mu }{\gamma }_{\mu }=4I$
2	${\gamma }^{\mu }{\gamma }^{\nu }{\gamma }_{\mu }=-2{\gamma }^{\nu }$
3	${\gamma }^{\mu }{\gamma }^{\nu }{\gamma }^{\rho }{\gamma }_{\mu }=4{\eta }^{\nu \rho }I$
4	${\gamma }^{\mu }{\gamma }^{\nu }{\gamma }^{\rho }{\gamma }^{\sigma }{\gamma }_{\mu }=-2{\gamma }^{\sigma }{\gamma }^{\rho }{\gamma }^{\nu }$
5	${\gamma }^{\mu }{\gamma }^{\nu }{\gamma }^{\lambda }={\eta }^{\mu \nu }{\gamma }^{\lambda }+{\eta }^{\nu \lambda }{\gamma }^{\mu }-{\eta }^{\mu \lambda }{\gamma }^{\nu }-i{ϵ}^{\sigma \mu \nu \lambda }{\gamma }_{\sigma }{\gamma }^5$

№	Тождество
0	$\mathrm{tr}({\gamma }^{\mu })=0$
1	Любое произведение нечётного числа ${\gamma }_{\mu }$ имеет нулевой след.
2	$\mathrm{tr}({\gamma }^{\mu }{\gamma }^{\nu })=4{\eta }^{\mu \nu }$
3	$\mathrm{tr}({\gamma }^{\mu }{\gamma }^{\nu }{\gamma }^{\rho }{\gamma }^{\sigma })=4({\eta }^{\mu \nu }{\eta }^{\rho \sigma }-{\eta }^{\mu \rho }{\eta }^{\nu \sigma }+{\eta }^{\mu \sigma }{\eta }^{\nu \rho })$
4	$\mathrm{tr}({\gamma }^5)=\mathrm{tr}({\gamma }^{\mu }{\gamma }^{\nu }{\gamma }^5)=0$
5	$\mathrm{tr}({\gamma }^{\mu }{\gamma }^{\nu }{\gamma }^{\rho }{\gamma }^{\sigma }{\gamma }^5)=4i{ϵ}^{\mu \nu \rho \sigma }$

Также для матриц Дирака выполняются тождества Фирца.

Определение гамма-матриц обобщается на пространства других размерностей, где их количество может отличаться.

См. также

• Уравнение Дирака
• Кватернионы
• Тождества Фирца

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья