Теорема сравнения Штурма

Теорема сравнения Штурма — классическая теорема, дающая критерий неосцилляции решений некоторых линейных дифференциальных уравнений.

Названа в честь Жака Шарля Франсуа Штурма. Расширенная версия теоремы, сформулированная ниже, была получена Шаблон:Iw.

Формулировка

Пусть Шаблон:Mvar, Шаблон:Mvar Шаблон:Math, — вещественнозначные непрерывные функции на интервале Шаблон:Math и пусть

1. $(p_1(x)y^{\prime }{)}^{\prime }+q_1(x)y=0$
2. $(p_2(x)y^{\prime }{)}^{\prime }+q_2(x)y=0$

— два однородных линейных дифференциальных уравнения второго порядка в самосопряженной форме с

$0<p_2(x)\le p_1(x)$

и

$q_2(x)\ge q_1(x).$

Пусть Шаблон:Mvar — нетривиальное решение (1) с последовательными корнями в Шаблон:Mvar и Шаблон:Mvar и пусть Шаблон:Mvar — нетривиальное решение (2). Тогда имеет место одно из следующих свойств:

• Существует Шаблон:Mvar в Шаблон:Math такие, что Шаблон:Math или же
• Решения Шаблон:Mvar и Шаблон:Mvar пропорциональны; то есть существует Шаблон:Mvar в Шаблон:Mvar такое, что Шаблон:Math.

См. также

• Теорема сравнения Рауха — фундаментальный результат римановой геометрии получаемый применением теоремы сравнения Штурма.