Александровская геометрия

Александровская геометрия — своеобразное развитие аксиоматического подхода в современной геометрии. Идея состоит в замене определённого равенства в аксиоматике евклидова пространства на неравенство.

История

Первое синтетическое определение ограничений на кривизну снизу и сверху дал Абрахам Вальд в своей студенческой работе написанной под руководством Карла Менгера. Эта работа была забыта вплоть до 1980-х годов.

Похожие определения были переоткрыты Александром Александровым. Он же дал первые значительные приложения этой теории, в частности к задачам вложения и изгибания поверхностей.

Близкое определение метрических пространств неположительной кривизной было дано почти одновременно Гербертом Буземаном.

Исследования Александрова и его учеников велись по двум основным направлениям:

• Двумерные пространства с кривизной, ограниченной снизу;
• Пространства произвольной размерности с кривизной, ограниченной сверху.
  • Гиперболичность в смысле Громова является продолжением этой теории для дискретных пространств. Оно имеет значительные приложения в теории групп.

Пространства произвольной размерности с ограниченной снизу кривизной начали изучать только в конце 1990-х годов. Толчком к этим исследованиям послужила Теорема Громова о компактности. Основополагающая работа была написана Юрием Бураго, Михаилом Громовым и Григорием Перельманом.

Основные определения

Треугольник сравнения для тройки точек $xyz$ метрического пространства $X$ это треугольник $[\tilde{x}\tilde{y}\tilde{z}]$ на евклидовой плоскости ${𝔼}^2$ с теми же длинами сторон; то есть

$\begin{array}{cc}|\tilde{x}-\tilde{y}{|}_{{𝔼}^2}& =|x-y{|}_X,\\ |\tilde{y}-\tilde{z}{|}_{{𝔼}^2}& =|y-z{|}_X,\\ |\tilde{z}-\tilde{x}{|}_{{𝔼}^2}& =|z-x{|}_X.\end{array}$

Угол при вершине $\tilde{x}$ в треугольнике сравнения $[\tilde{x}\tilde{y}\tilde{z}]$ называется углом сравнения тройки $xyz$ и обозначается $\tilde{\measuredangle }(x{}_z^y)$.

В геометрии Александрова рассматриваются полные метрические пространства $X$ с внутренней метрикой с одним из двух следующих неравенств на 6 расстояний между 4 произвольными точками.

Первое неравенство. Для произвольных 4 точек $x,y,p,q\in X$ рассмотрим пару треугольников сравнения $[\tilde{x}\tilde{p}\tilde{q}]$ и $[\tilde{y}\tilde{p}\tilde{q}]$, тогда для произвольной точки $\tilde{z}\in [\tilde{p}\tilde{q}]$ выполняется неравенство

$|x-y{|}_X\le |\tilde{x}-\tilde{z}{|}_{{𝔼}^2}+|\tilde{y}-\tilde{z}{|}_{{𝔼}^2}.$

В этом случае говорят, что пространство удовлетворяет $\mathrm{C}\mathrm{A}\mathrm{T}(0)$-неравенству. Полное пространство, удовлетворяющие $\mathrm{C}\mathrm{A}\mathrm{T}(0)$-неравенству, называется пространством Адамара. В случае локального выполнения этого неравенства говорят, что пространство имеет неположительную кривизну в смысле Александрова.

Второе неравенство. Для произвольных 4 точек $p,x,y,z\in X$ выполняется неравенство

$\tilde{\measuredangle }(p{}_y^x)+\tilde{\measuredangle }(p{}_z^y)+\tilde{\measuredangle }(p{}_x^z)\le 2\cdot \pi .$

В этом случае говорят, что пространство удовлетворяет $\mathrm{C}\mathrm{B}\mathrm{B}(0)$-неравенству, или имеет неотрицательную кривизну в смысле Александрова.

Общие ограничения на кривизну

Вместо евклидовой плоскости можно взять пространство $𝕄(k)$ — модельную плоскость кривизны $k$. То есть

• $𝕄(0)$ есть евклидова плоскость,
• $𝕄(k)$ при $k>0$ есть сфера радиуса $1/\sqrt{k}$,
• $𝕄(k)$ при $k<0$ есть плоскость Лобачевского кривизны $k$.

Тогда вышеприведённые определения превращаются в определения CAT(k) и CBB(k) пространств и пространств кривизной $⩽k$ и $⩾k$ в смысле Александрова. В случае $k>0$, треугольник сравнения тройки $(xyz)$ считается определённым, если

$|x-y{|}_X+|y-z{|}_X+|z-x{|}_X<2\cdot \pi /\sqrt{k}$.

Основные теоремы

• Лемма Александрова — важное техническое утверждение об углах сравнения
• Теорема Решетняка о склеивании — позволяет конструировать CAT(k) пространства путем склеивания CAT(k) пространств по выпуклым множествам.
• Теорема Решетняка о мажоризации — даёт удобное эквивалентное определение CAT(k) пространств.
• Теорема глобализации для CAT(k) пространств, является обобщением теоремы Адамара — Картана.
• Теорема глобализации для CBB(k) пространств, является обобщением теоремы сравнения Топоногова.

Литература

• Шаблон:Книга
• Лекция 5, Геометрия Александрова
• Шаблон:Cite web
• Шаблон:Cite web
• Антон Петрунин, Александровская геометрия видео лекции
• Шаблон:Cite arXiv
• Шаблон:Cite arXiv