Лемма Александрова

Монотонная зависимость углов друг от друга.

Лемма Александрова — утверждение нейтральной геометрии и сферической геометрии, играющее важную роль в основаниях александровской геометрии.

Формулировка

Зафиксируем вещественное число $k$ и обозначим через $𝕄[k]$ модельную плоскость кривизны $k$. То есть

• $𝕄[0]$ есть евклидова плоскость,
• $𝕄[k]$ при $k>0$ есть сфера радиуса $1/\sqrt{k}$,
• $𝕄[k]$ при $k<0$ есть плоскость Лобачевского кривизны $k$.

Пусть $XPYQ$ и $X^{\prime }{P}^{\prime }{Y}^{\prime }{Q}^{\prime }$ — два четырёхугольника в $𝕄[k]$ с равными соответствующими сторонами. Предположим, точки $P$ и $Q$ лежат по разные стороны от прямой $XY$, точка $Q^{\prime }$ лежит на кратчайшей $X^{\prime }{Y}^{\prime }$. Тогда следующие выражения имеют один и тот же знак:

• $\measuredangle PQX+\measuredangle PQY-\pi$
• $P^{\prime }{Q}^{\prime }-PQ$

История

Лемма появляется в книге Шаблон:Книга

Литература

• Шаблон:Книга