Гиперболичность в смысле Громова

Гиперболичность в смысле Громова или $\delta$-гиперболичность — глобальная характеристика метрического пространства, грубо говоря, напоминающая отрицательность кривизны; в частности пространство Лобачевского гиперболично в смысле Громова.

Гиперболичность в смысле Громова в основном применяется в геометрической теории групп. Она даёт удобную геометрическую интерпретацию для Шаблон:Нп1.

Определение

Пространство $X$ является $\delta$-гиперболичным если для любых точек $x,y,z\in X$ выполнялось

$(x,z{)}_p⩾\min \{(x,y{)}_p,(y,z{)}_p\}-\delta ,$

где $(x,y{)}_p$ обозначает произведение Громова:

$(y,z{)}_x=\frac{1}{2}(|x-y{|}_X+|x-z{|}_X-|y-z{|}_X).$

Последнее неравенество эквивалентно выполнению

$|p-q{|}_X+|x-y{|}_X⩽\max \{|p-x{|}_X+|q-y{|}_X,|p-y{|}_X+|q-x{|}_X\}+2\cdot \delta$

для любых точек $p,q,x,y\in X$.

Есть много других определений (иногда отличающихся изменением $\delta$ в несколько раз). Например следующее: если пространство $X$ геодезическое, то это условие эквивалентно тому, что для любых точек x, y, z пространства отрезок геодезической [xy] лежит в $\delta$-окрестности объединения [xz] и [yz]. Иными словами — на кратчайшей [xy] найдётся точка t такая, что [xt] лежит в $\delta$-окрестности [xz], а [ty] лежит в $\delta$-окрестности [zy].

Свойства

• Гиперболичность является инвариантом квазиизометричных преобразований. Благодаря этому, гиперболичность группы не зависит от выбора системы образующих, использованной для задания словарной метрики.
• Если пространство содержит изометричную копию ${ℝ}^2$, оно не может быть гиперболичным. В частности, декартово произведение почти никогдаШаблон:Прояснить не может быть гиперболическим.
• Инъективная оболочка $\delta$-гиперболического пространства $\delta$-гиперболическая.
  • В частности, любое $\delta$-гиперболическое пространство изометрично подмножеству в геодезическом $\delta$-гиперболическом пространстве.

Примеры

• Любое компактное пространство гиперболично.
• Любое дерево является 0-гиперболическим пространством.
• Плоскость Лобачевского гиперболична в смысле Громова. Полагая, что кривизна равна $-1$ плоскость Лобачевского является $\ln (2)$-гиперболической (в смысле четырёхточеного определения).
  • Более того, любое $\mathrm{C}\mathrm{A}\mathrm{T}(-1)$ пространство $\ln (2)$-гиперболично.

Ссылки

• П. де ля Арп, Э. Гис, Гиперболические группы по Михаилу Громову

• Mikhail Gromov, Hyperbolic groups. Essays in group theory, 75—263, Math. Sci. Res. Inst. Publ., 8, Springer, New York, 1987.