Произведение Громова

Произведение Громова оценивает расстояние, на котором две геодезические из одной точки начинают существенно расходиться. Используется, в частности для определения метрики на абсолютной границе метрического пространства.

Названо в честь Михаила Леонидовича Громова.

Определение

Пусть $p$ — отмеченная точка метрического пространства $(X,d)$. Тогда, произведением Громова (с центром в $x$) точек $y$ и $z$ этого пространства называется величина

$(y,z{)}_p:=\frac{1}{2}\cdot (d(p,y)+d(p,z)-d(y,z)).$

Свойства

• Произведение Громова неотрицательно и симметрично: $\mathrm{\forall }p,y,z\in X(y,z{)}_p=(z,y{)}_p,(y,z{)}_p\ge 0.$
• Для случая дерева, $(y,z{)}_p$ есть длина совпадающей части кратчайших $[py]$ и $[pz]$.
• Для дерева выполняется неравенство.

  $(x,z{)}_p⩾\min \{(x,y{)}_p,(y,z{)}_p\};$

иначе говоря, наименьшие две величины из $(x,z{)}_p$, $(x,y{)}_p$ и $(y,z{)}_p$ совпадают.

• Для $\delta$-гиперболических пространств выполняется неравенство.

  $(x,z{)}_p⩾\min \{(x,y{)}_p,(y,z{)}_p\}-\delta .$

Литература

• Шаблон:Книга