Криволинейный интеграл

Криволинейный интеграл — интеграл, вычисляемый вдоль какой-либо кривой.

Различают криволинейный интеграл

• первого рода, в котором скалярная функция умножается на бесконечно малую длину области кривой
• второго рода — где вектор-функция скалярно умножается на бесконечно малый вектор, лежащий вдоль кривой, которая наделена направлением.

Определение

Начальные условия

Кривая

Пусть $l$ — гладкая (непрерывно дифференцируемая), без особых точек и самопересечений кривая (допускается одно самопересечение — случай замкнутой кривой), заданная параметрически:

$l:𝐫(t),$

где r — радиус-вектор, конец которого описывает кривую, а параметр t направлен от какого-то начального значения a к конечному значению b. Для интеграла второго рода направление, в котором движется параметр, определяет само направление кривой $l.$ При этом не играет роли, что больше — b или a.

Интегрируемая функция

Пусть дана скалярная или векторная функция, от которой рассматривается интеграл вдоль кривой $l:$ $f(𝐫)$ или $𝐟(𝐫).$

Разбиение

Разбиение отрезка параметризации

• Пусть дано разбиение отрезка $[a,b]$ (или $[b,a]$) то есть множество $\{t_k{\}}_{k=0}^n=\{t_0,\mathrm{...},t_n\},$ где:
  • $a=t_0<\dots <t_n=b,$ если $a<b;$
  • или $a=t_0>\dots >t_n=b,$ если $a>b.$

• Мелкостью этого разбиения называется число $\underset{k=\overline{1,n}}{max}\{|t_k-t_{k-1}|\},$ обозначающее максимальное возможное из расстояний между всеми соседними значениями этого разбиения.

• Введём набор промежуточных точек разбиения — точек ${\xi }_k,$ каждая из которых лежит между $t_{k-1}$ и $t_k$ ($k=\overline{1,n}$).

Разбиение кривой

• Зададим разбиение кривой $\{𝐫(t_k){\}}_{k=0}^n,$ которое соответствует разбиению $\{t_k{\}}_{k=0}^n$ отрезка параметризации.

• За $l_k$ обозначим часть кривой $𝐫(t)$ от значения параметра $t=t_{k-1}$ до значения $t=t_k,$ где $k=\overline{1,n}.$

• Зададим набор промежуточных точек разбиения кривой — точек $𝐫({\xi }_k),$ каждая из которых лежит на $l_k$ ($k=\overline{1,n}$).

Интегральные суммы

Ниже для определения интегральных сумм используются промежуточные точки $𝐫({\xi }_k),$ разбиение $\{t_k{\}}_{k=0}^n$ и участки $l_k$ кривой $l.$ Рассмотрим две интегральные суммы:

• интегральную сумму для интеграла первого рода:

  $\sum _{k=1}^{n}f(𝐫({\xi }_k))\cdot |l_k|,$ где |l_k| — длина участка l_k;

• интегральную сумму для интеграла второго рода:

  $\sum _{k=1}^n𝐟(𝐫({\xi }_k))\cdot (𝐫(t_k)-𝐫(t_{k-1})),$

где вектор-функция f скалярно умножается на приращение r(t_k) − r(t_k−1).

Криволинейный интеграл

Если в интегральных суммах n неограниченно увеличить так, чтобы мелкость стремилась к нулю, то в пределе получится криволинейный интеграл от функции $f$ ($𝐟$) по кривой $l.$ Если этот предел действительно существует, то говорят, что функция $f$ ($𝐟$) интегрируема по кривой $l.$ Тогда интегралы первого и второго рода обозначаются:

${\int }_{l}f(𝐫)|𝐝𝐫|,{\int }_l𝐟\mathbf{(}𝐫\mathbf{)}\mathbf{\cdot }𝐝𝐫,$

где dr — вектор-дифференциал вдоль кривой. В случае с интегралом второго рода важно направление кривой: от этого зависит направление самого дифференциала dr.

Если кривая $l$ замкнута (начало совпадает с концом), то вместо значка $\int$ принято писать $\oint .$

Криволинейный интеграл первого рода

Иллюстрация криволинейного интеграла первого рода на скалярном поле

Свойства

1. Линейность:

   ${\int }_l(\alpha f(𝐫)+\beta g(𝐫))\cdot \mathbf{|}𝐝𝐫\mathbf{|}=\alpha {\int }_{l}f\mathbf{|}𝐝𝐫\mathbf{|}+\beta {\int }_{l}g\mathbf{|}𝐝𝐫\mathbf{|}.$

2. Аддитивность: если $l_1$ и $l_2$ пересекаются в одной точке, то

   ${\int }_{l_1\cup l_2}f\mathbf{|}𝐝𝐫\mathbf{|}={\int }_{l_1}f\mathbf{|}𝐝𝐫\mathbf{|}+{\int }_{l_2}f\mathbf{|}𝐝𝐫\mathbf{|}.$

3. Монотонность: если $f⩽g$ на $l$, то

   ${\int }_{l}f\mathbf{|}𝐝𝐫\mathbf{|}⩽{\int }_{l}g\mathbf{|}𝐝𝐫\mathbf{|}.$

4. Теорема о среднем: при непрерывности функции $f$ на $l$ для интеграла ${\int }_{l}f\mathbf{|}𝐝𝐫\mathbf{|}$ возможно подобрать такую точку $\xi \in l,$ что

   ${\int }_{l}f\mathbf{(}𝐫\mathbf{)}\mathbf{|}𝐝𝐫\mathbf{|}={\int }_{l}f(\xi )\mathbf{|}𝐝𝐫\mathbf{|},$ или, что то же самое, ${\int }_{l}f\mathbf{(}𝐫\mathbf{)}\mathbf{|}𝐝𝐫\mathbf{|}=f(\xi )\cdot |l|.$

5. Изменение направления обхода кривой интегрирования не влияет на знак интеграла:

   ${\int }_{AB}f\cdot |𝐝𝐫|={\int }_{BA}f\cdot |-𝐝𝐫|={\int }_{BA}f\cdot |𝐝𝐫|.$

6. Криволинейный интеграл первого рода не зависит от параметризации кривой.

Вычисление

Пусть $l$ — гладкая, спрямляемая (конечной длины) кривая, заданная параметрически (как в определении). Пусть функция $f(𝐫)$ определена и интегрируема вдоль кривой $l.$ Тогда в общем случае

${\int }_{l}f(𝐫)|𝐝𝐫|={\int }_a^{b}f(𝐫)\cdot |\dot{𝐫}(t)dt|={\int }_b^{a}f(𝐫)\cdot |\dot{𝐫}(t)dt|,$

или, если раскрыть модуль дифференциала dt,

${\int }_{l}f(𝐫)|𝐝𝐫|=\{\begin{array}{cc}\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(𝐫)\cdot |\dot{𝐫}(t)|dt=\underset{b}{\overset{a}{\int }}f(𝐫)\cdot |\dot{𝐫}(t)|(-dt),& \text{если}a<b,\\ \underset{a}{\overset{b}{\int }}f(𝐫)\cdot |\dot{𝐫}(t)|(-dt)=\underset{b}{\overset{a}{\int }}f(𝐫)\cdot |\dot{𝐫}(t)|dt,& \text{если}a>b.\end{array}$

где точкой обозначена производная по t.

Криволинейный интеграл второго рода

Иллюстрация криволинейного интеграла второго рода на векторном поле

Свойства

1. Линейность:

${\int }_l(\alpha 𝐟+\beta 𝐠)\cdot 𝐝𝐫=\alpha {\int }_l𝐟\mathbf{\cdot }𝐝𝐫+\beta {\int }_l𝐠\mathbf{\cdot }𝐝𝐫.$

2. Аддитивность:

${\int }_{AB}𝐟\mathbf{\cdot }𝐝𝐫+{\int }_{BC}𝐟\mathbf{\cdot }𝐝𝐫={\int }_{ABC}𝐟\mathbf{\cdot }𝐝𝐫.$

3. ${\int }_{BA}𝐟\mathbf{\cdot }𝐝𝐫={\int }_{AB}𝐟\cdot (-𝐝𝐫)=-{\int }_{AB}𝐟\mathbf{\cdot }𝐝𝐫.$

Замечание. Для криволинейных интегралов второго рода несправедливы свойство монотонности, оценка модуля и теорема о среднем.

Вычисление

Пусть AB — гладкая кривая, заданная параметрически (как в определении) и наделённая направлением от A до B. Пусть функция $𝐟$ определена и интегрируема вдоль кривой $l.$ Тогда

${\int }_{AB}𝐟\mathbf{(}𝐫\mathbf{)}\mathbf{\cdot }𝐝𝐫={\int }_a^b𝐟\mathbf{(}𝐫\mathbf{)}\mathbf{\cdot }\dot{𝐫}(t)dt,$

а при изменении обхода кривой:

${\int }_{BA}𝐟\mathbf{(}𝐫\mathbf{)}\mathbf{\cdot }𝐝𝐫={\int }_b^a𝐟\mathbf{(}𝐫\mathbf{)}\mathbf{\cdot }\dot{𝐫}(t)dt=-{\int }_a^b𝐟\mathbf{(}𝐫\mathbf{)}\mathbf{\cdot }\dot{𝐫}(t)dt.$

Взаимосвязь криволинейных интегралов

Если обозначить за $\overrightarrow{\tau }$ единичный вектор касательной к кривой $l,$ который имеет то же направление, в каком параметризирована сама кривая, то взаимосвязь между криволинейными интегралами такова:

$𝐝𝐫=\overrightarrow{\tau }\mathbf{|}𝐝𝐫\mathbf{|}.$

В терминах самих интегралов это выглядит так:

${\int }_l𝐟\mathbf{\cdot }𝐝𝐫={\int }_l\mathbf{(}𝐟\mathbf{\cdot }\overrightarrow{𝝉}\mathbf{)}\mathbf{|}𝐝𝐫\mathbf{|},$

где $l$ — гладкая, спрямляемая кривая, наделённая направлением, а вектор-функция $𝐟$ интегрируема на ней.

Трёхмерное евклидово пространство

В трёхмерном евклидовом пространстве дифференциалы координат вектора, направленного вдоль направленной кривой, выражаются через направляющие косинусы, если воспользоваться определением скалярного произведения:

$dx=\cos \mathrm{\angle }(\overrightarrow{i},\overrightarrow{\tau })|𝐝𝐫|;$

$dy=\cos \mathrm{\angle }(\overrightarrow{j},\overrightarrow{\tau })|𝐝𝐫|;$

$dz=\cos \mathrm{\angle }(\overrightarrow{k},\overrightarrow{\tau })|𝐝𝐫|.$

Тогда, раскладывая скалярное произведение в ${\int }_l𝐟\mathbf{\cdot }𝐝𝐫={\int }_l\mathbf{(}𝐟\mathbf{\cdot }\overrightarrow{𝝉}\mathbf{)}\mathbf{|}𝐝𝐫\mathbf{|}$ по координатам, взаимосвязь криволинейных интегралов можно выразить так:

${\int }_l{f}_x(x,y,z)dx={\int }_l{f}_x(x,y,z)\cos \mathrm{\angle }(\overrightarrow{i},\overrightarrow{\tau })|𝐝𝐫|;$

${\int }_l{f}_y(x,y,z)dy={\int }_l{f}_y(x,y,z)\cos \mathrm{\angle }(\overrightarrow{j},\overrightarrow{\tau })|𝐝𝐫|;$

${\int }_l{f}_z(x,y,z)dz={\int }_l{f}_z(x,y,z)\cos \mathrm{\angle }(\overrightarrow{k},\overrightarrow{\tau })|𝐝𝐫|.$

Механические приложения

• Работа A по перемещению материальной точки вдоль направленной кривой l под воздействием силы F представляет собой

$A={\int }_l𝐅\mathbf{\cdot }𝐝𝐫.$

• Масса m криволинейного (бесконечно тонкого) тела l, линейная плотность которого вдоль кривой l равна μ(r), выражается интегралом

$m={\int }_l𝝁\mathbf{(}𝐫\mathbf{)}\mathbf{|}𝐝𝐫\mathbf{|}.$

• Центр масс (центра тяжести) криволинейного тела l с линейной плотностью μ(r) выражается через радиус-вектор r_c как

${𝐫}_c=\frac{1}{m}{\int }_l\mu (𝐫)𝐫\mathbf{|}𝐝𝐫\mathbf{|},$где m — масса кривой l.

• Моменты инерции кривой l при её вращении вокруг координатных осей в 3-мерном пространстве:

$I_x={\int }_l(y^2+z^2)\mu \mathbf{(}𝐫\mathbf{)}\mathbf{|}𝐝𝐫\mathbf{|},$

$I_y={\int }_l(z^2+x^2)\mu \mathbf{(}𝐫\mathbf{)}\mathbf{|}𝐝𝐫\mathbf{|},$

$I_z={\int }_l(x^2+y^2)\mu \mathbf{(}𝐫\mathbf{)}\mathbf{|}𝐝𝐫\mathbf{|}.$

• Сила притяжения точечной массы m₀ в начале координат с криволинейным телом l равна

$𝐅=\gamma m_0{\int }_l\frac{\mu (𝐫)}{r^3}|𝐝𝐫|,$

где μ(r) — линейная плотность кривой l, γ — гравитационная постоянная.

См. также

• Комплексный криволинейный интеграл
• Теорема Грина
• Векторный анализ
• Циркуляция векторного поля
• Механические приложения криволинейных интегралов