Циркуляция векторного поля

Циркуля́цией ве́кторного по́ля по данному замкнутому контуру Γ называется криволинейный интеграл второго рода, взятый по Γ. По определению

$C=\underset{\mathrm{\Gamma }}{\oint }𝐅d𝐥=\underset{\mathrm{\Gamma }}{\oint }(F_{x}dx+F_{y}dy+F_{z}dz),$

где $𝐅=\{F_x,F_y,F_z\}$ — векторное поле (или вектор-функция), определенное в некоторой области D, содержащей в себе контур Γ, $d𝐥=\{dx,dy,dz\}$ — бесконечно малое приращение радиус-вектора $𝐥$ вдоль контура. Окружность на символе интеграла подчёркивает тот факт, что интегрирование производится по замкнутому контуру. Приведенное выше определение справедливо для трёхмерного случая, но оно, как и основные свойства, перечисленные ниже, прямо обобщается на произвольную размерность пространства.

Свойства циркуляции

Свойство аддитивности циркуляции: циркуляция по контуру $\mathrm{\Gamma }$ есть сумма циркуляций по контурам ${\mathrm{\Gamma }}_1$ и ${\mathrm{\Gamma }}_2$, то есть $C=C_1+C_2$

Аддитивность

Циркуляция по контуру, ограничивающему несколько смежных поверхностей, равна сумме циркуляций по контурам, ограничивающим каждую поверхность в отдельности, то есть

$C=\sum _i{C}_i.$

Формула Стокса

Циркуляция вектора F по произвольному контуру Г равна потоку вектора $\mathrm{rot}𝐅$ через произвольную поверхность S, ограниченную данным контуром.

$\underset{\mathrm{\Gamma }}{\oint }𝐅d𝐥=\underset{S}{\iint }\mathrm{rot}𝐅\cdot 𝐧dS,$

где $\mathrm{rot}𝐅=[\mathrm{\nabla },𝐅]=\left|\begin{array}{ccc}{𝐞}_x& {𝐞}_y& {𝐞}_z\\ \frac{\partial }{\partial x}& \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ F_x& F_y& F_z\end{array}\right|$ — ротор (вихрь) вектора F.

В случае, если контур плоский, например лежит в плоскости OXY, справедлива теорема Грина

$\underset{\mathrm{\Gamma }}{\oint }(F_{x}dx+F_{y}dy)=\underset{{\mathrm{\Gamma }}^{\circ }}{\iint }(\frac{\partial F_y}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y})dxdy,$

где ${\mathrm{\Gamma }}^{\circ }$ — плоскость, ограничиваемая контуром $\mathrm{\Gamma }$ (внутренность контура).

Физическая интерпретация

Файл:Циркуляция.jpg

Физическая интерпретация циркуляции: Работа поля по замкнутому контуру

Если F — некоторое силовое поле, тогда циркуляция этого поля по некоторому произвольному контуру Γ есть работа этого поля при перемещении точки вдоль контура Г. Отсюда непосредственно следует критерий потенциальности поля: поле является потенциальным когда циркуляция его по произвольному замкнутому контуру есть нуль. Или же, как следует из формулы Стокса, в любой точке области D ротор этого поля есть нуль.

$\mathrm{\forall }\mathrm{\Gamma }\subset D:\underset{\mathrm{\Gamma }}{\oint }𝐅(𝐫)d𝐥=0\iff \mathrm{\forall }𝐫\in D:\mathrm{rot}𝐅(𝐫)=\mathrm{𝟎}.$

Историческая справка

Термин «циркуляция» был первоначально введен в гидродинамике для расчета движения жидкости по замкнутому каналу. Рассмотрим течение идеальной несжимаемой жидкости. Выберем произвольный контур Γ. Мысленно представим, что мы (мгновенно) заморозили всю жидкость в объеме, за исключением тонкого канала постоянного сечения, включающего в себя контур Γ. Тогда, в зависимости от первоначального характера течения жидкости, она будет либо неподвижной в канале, либо двигаться вдоль контура (циркулировать). В качестве характеристики такого движения берут величину, равную произведению средней скорости движения жидкости по каналу $u$ на длину контура l:

$C=ul,$

поскольку именно скорость $u$ установится в этом случае в итоге всюду в канале, а величина циркуляции C даст (обобщённый) импульс для жидкости единичной плотности, сопряженный (обобщенной) координате, характеризующей положение жидкости как целого в канале, соответствующей, несколько упрощая, положению одиночной «пылинки» в жидкости, измеренному по линейке, изгибающейся вдоль канала.

Так как при затвердевании стенок канала нормальная к контуру компонента скорости будет погашена (вообразим, что это происходит перед тем, как тангенциальная скорость в канале всюду становится одинаковой вследствие несжимаемости жидкости), жидкость по каналу будет сразу после затвердевания двигаться с тангенциальной составляющей исходной скорости $v_{\tau }$. Тогда циркуляцию можно представить в виде

$C=\underset{\mathrm{\Gamma }}{\oint }{v}_{\tau }dl=\underset{\mathrm{\Gamma }}{\oint }𝐯d𝐥,$

где dl — элемент длины контура.

Позже понятие «циркуляция» было распространено на любые векторные поля, даже такие, в которых «циркулировать» в буквальном смысле нечему.

Литература

• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.3. М.: «Наука», 1960.
• Савельев И. В. Курс общей физики. Т2. М.: Астрель • АСТ, 2004.