Поток векторного поля

Пото́к ве́кторного по́ля — термин, используемый в математике для двух различных понятий:

• поток векторного поля через поверхность, это понятие широко используется и в физике, особенно в электродинамике;

• фазовый поток — поток векторного поля $\overrightarrow{A}$ — однопараметрическое семейство диффеоморфизмов ${\mathrm{\Gamma }}_t$, определяемых дифференциальным уравнением $\overrightarrow{A}({\mathrm{\Gamma }}_t(x))=d{\mathrm{\Gamma }}_t(x)/dt$.

Ниже представлено первое из названных понятий (второму посвящена отдельная статья).

Поток векторного поля через поверхность

Поток векторного поля через поверхность — поверхностный интеграл второго рода по поверхности $S$. По определению,

${\mathrm{\Phi }}_F=\underset{S}{\iint }𝐅\cdot 𝐧dS$,

где $𝐅=𝐅\mathbf{(}𝐗\mathbf{)}$ — векторное поле (вектор-функция векторного аргумента — точки пространства), $𝐧$ — единичный вектор положительной нормали к поверхности (положительное направление выбирается для ориентируемой поверхности условно, но одинаково для всех точек — то есть для дифференцируемой поверхности — так, чтобы $𝐧$ было непрерывно; для неориентируемой поверхности это не важно, так как поток через неё всегда ноль), $dS$ — элемент поверхности.

В трёхмерном случае $𝐗=(x,y,z),𝐅=𝐅\mathbf{(}𝐗\mathbf{)}=(F_x(𝐗),F_y(𝐗),F_z(𝐗))$, а поверхностью является обычная двумерная поверхность.

Иногда применяется обозначение

$d𝐒=𝐧dS$.

тогда поток записывается в виде

${\mathrm{\Phi }}_F=\underset{S}{\iint }𝐅\cdot d𝐒$.

Размерность потока — это размерность величины $𝐅$, домноженная на квадратный метр (в СИ).

Некоторые физические примеры

Из гидродинамики

Пусть движение несжимаемой жидкости единичной плотности в пространстве задано векторным полем скорости течения $𝐯=𝐯(x,y,z)$. Тогда объём жидкости, который протечёт за единицу времени через поверхность $S$, будет равен потоку векторного поля $𝐯$.

Если плотность равна $\rho$, то масса жидкости, которая протечёт за единицу времени через поверхность будет равна потоку величины $\rho 𝐯$:

$\frac{dM}{dt}={\mathrm{\Phi }}_{\rho 𝐯}=\underset{S}{\iint }\rho 𝐯\cdot d𝐒$.

Из электродинамики

В основных уравнениях электродинамики — уравнениях Максвелла — фигурируют потоки вектора электрической индукции и вектора магнитной индукции

${\mathrm{\Phi }}_D=\underset{S}{\iint }𝐃\cdot d𝐒$ и ${\mathrm{\Phi }}_B=\underset{S}{\iint }𝐁\cdot d𝐒$.

А именно, эти потоки, если они вычислены для замкнутой поверхности, равны заряду внутри поверхности:

$\underset{S}{\oint }𝐃\cdot d𝐒=Q$ и $\underset{S}{\oint }𝐁\cdot d𝐒=0$,

где $Q$ — электрический заряд, а поток вектора $𝐁$ нулевой, так как магнитные заряды не существуют.

Ещё пример из электродинамики. Электрический ток представляет собой поток векторного поля плотности тока:

$I=\underset{S}{\iint }𝐣\cdot d𝐒$

через поперечное сечение токоведущего проводника.

О понятии плотности потока

Если векторным полем $𝐅$, поток которого вычисляется, характеризуется перенос какой-либо скалярной величины (например, массы в примере с жидкостью или заряда в примере с током; другие возможные случаи — перенос энергии, перенос спина), то такое поле в данном контексте называется плотностью потока. В таких случаях $𝐅$ имеет структуру $𝐅={\rho }_f𝐯$, где ${\rho }_f$ обозначает плотность переносимой величины (массы в кг/м³, заряда в Кл/м³, энергии в Дж/м³ и т.д.), а $𝐯$ — скорость переноса. Если не переносится ничего (как для потока $𝐃$, $𝐁$), подобное название не имеет смысла.

См. также

• Плотность потока
• Теорема Гаусса
• Векторная трубка

Ссылки

Кочин Н. Е., Векторное исчисление и начала тензорного исчисления, М.: "Наука", 1965, §14