Роза (плоская кривая)

Общий вид полярной розы, задаваемой уравнением $\rho =\sin k\phi$, при различных значениях $k=\frac{n}{d}$

Ро́за — плоская кривая, напоминающая символическое изображение цветка.

История

Впервые об этой кривой упоминает флорентийский монах Гвидо Гранди в двух письмах Лейбницу в декабре 1713 годаШаблон:Sfn и называет её «розовидной»Шаблон:Sfn («rhodonea», от Шаблон:Lang-grc — «роза»). Через десять лет он опубликовал статью о ней в «Философских трудах Королевского общества», где рассмотрел разновидности этой кривой с различным количеством лепестков и также называл их «розовидными». Ещё через пять лет Гвидо Гранди развил теорию розовидных кривых в отдельном труде, где наряду с этим рассмотрел похожие на них пространственные кривые, лежащие на сфере, которые он назвал «клелиями» в честь княгини Клелии БорромеоШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Описание

Данная кривая описывается уравнением в полярной системе координат в виде

$\rho =a\sin k\phi .$

Здесь $a$ и $k$ — постоянные, определяющие размер (a) и количество лепестков (k) данной розы. Вся кривая располагается внутри окружности радиуса $a$ и в случае $k>1$ состоит из одинаковых по форме и размеру лепестков. Количество лепестков в данном случае определяется величиной $k$.

Для целого $k$ число лепестков равно $k$, если $k$ нечётное и $2k$, — если чётное. Для дробного $k$ вида $k=\frac{m}{n}$, где $m$ и $n$ взаимно простые, количество лепестков розы равно $m$, если оба числа нечётные и $2m$, если хотя бы одно — чётно. При $k$ иррациональном лепестков бесконечно много.

При значениях $k>1$ роза является гипотрохоидой, а при $k<1$ — эпитрохоидой.

См. также

• Квадрифолий
• Кривая Рибокура
• Синусоидальная спираль
• Спирограф (игрушка)
• Улитка Паскаля

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга