Ортогональная система координат

Ортогональная система координат — система координат, в которой координатные линии (координатные поверхности) ортогональны друг другу. Декартова система координат, как и все основные практически используемые криволинейные системы координат — полярные, эллиптические, параболические, сферические, цилиндрические, параболоидальные, бицилиндрические, биполярные, тороидальные, конические — ортогональные.

Ортогональную систему координат можно ввести в любом евклидовом пространстве. В двумерном гладком аффинном пространстве ортогональную систему можно ввести в достаточно малой окрестности любой точки, но во всём пространстве — лишь в ряде частных случаев.

Выбор той или иной системы ортогональных координат определяется симметрией системы. Например, при решении задачи о распространении электромагнитной волны от точечного источника выгодно пользоваться сферической системой координат; при решении задачи о колебании мембраны предпочтительней цилиндрическая система координат.

В ортогональных системах метрический тензор имеет диагональный вид, диагональные компоненты которого называются коэффициентами Ламе. В трёхмерном пространстве квадрат элемента длины $d l^{2}$ выражается через коэффициенты Ламе $L_{i}$ :

d l^{2} = L_{1}^{2} d q_{1}^{2} + L_{2}^{2} d q_{2}^{2} + L_{3}^{2} d q_{3}^{2}

,

квадрат элемента площади:

d S^{2} = (L_{1} L_{2} d q_{1} d q_{2})^{2} + (L_{1} L_{3} d q_{1} d q_{3})^{2} + (L_{1} L_{3} d q_{1} d q_{3})^{2}

,

элемент объёма:

d V = L_{1} L_{2} L_{3} d q_{1} d q_{2} d q_{3}

.

В ортогональных системах скалярное произведение базисных векторов равно:

𝐞_{i} \cdot 𝐞_{j} = {\begin{matrix} 0, & i \neq j \\ | 𝐞_{i} |^{2}, & i = j \end{matrix}

В большинстве случаев используют ортонормированные базисы — базисные векторы с единичной нормой:

𝐞_{i}^{(n)} = \frac{𝐞_{i}}{| 𝐞_{i} |}

;

в ортонормированных базисах скалярное произведение базисных векторов выражается через символ Кронекера $δ_{i j}$ :

𝐞_{i} \cdot 𝐞_{j} = δ_{i j}

.

Литература

Шаблон:Из

Ортогональная система координат

Литература

Навигация

Поиск