Эллиптическая система координат

Эллиптическая система координат

Эллиптические координаты — двумерная ортогональная система координат, в которой координатными линиями являются конфокальные эллипсы и гиперболы. За два фокуса $F_1$ и $F_2$ обычно берутся точки $-c$ и $+c$ на оси $X$ декартовой системы координат.

Основное определение

Эллиптические координаты $(\mu ,\nu )$ обычно определяются по правилу:

$\{\begin{array}{c}x=c\mathrm{c}\mathrm{h}\mu \cos \nu \\ y=c\mathrm{s}\mathrm{h}\mu \sin \nu \end{array}$

где $\mu ⩾0$, $\nu \in [0,2\pi )$.

Таким образом определяется семейство конфокальных эллипсов и гипербол. Тригонометрическое тождество

$\frac{x^2}{c^2{\mathrm{c}\mathrm{h}}^2\mu }+\frac{y^2}{c^2{\mathrm{s}\mathrm{h}}^2\mu }={\cos }^2\nu +{\sin }^2\nu =1$

показывает, что линии уровня $\mu$ являются эллипсами, а тождество из гиперболической геометрии

$\frac{x^2}{c^2{\cos }^2\nu }-\frac{y^2}{c^2{\sin }^2\nu }={\mathrm{c}\mathrm{h}}^2\mu -{\mathrm{s}\mathrm{h}}^2\mu =1$

показывает, что линии уровня $\nu$ являются гиперболами.

Коэффициенты Ламэ

Коэффициенты Ламэ для эллиптических координат $(\mu ,\nu )$ равны

$H_{\mu }=H_{\nu }=c\sqrt{(\mathrm{c}\mathrm{h}\mu \sin \nu {)}^2+(\mathrm{s}\mathrm{h}\mu \cos \nu {)}^2}=c\sqrt{{\mathrm{s}\mathrm{h}}^2\mu +{\sin }^2\nu }.$

Тождества для двойного угла позволяют привести их к виду

$H_{\mu }=H_{\nu }=c\sqrt{\frac{1}{2}(\mathrm{c}\mathrm{h}2\mu -\cos 2\nu }).$

Элемент площади равен:

$dS=c^2({\mathrm{s}\mathrm{h}}^2\mu +{\sin }^2\nu )d\mu d\nu ,$

а лапласиан равен

${\mathrm{\nabla }}^2\mathrm{\Phi }=\frac{1}{c^2({\mathrm{s}\mathrm{h}}^2\mu +{\sin }^2\nu )}(\frac{{\partial }^2\mathrm{\Phi }}{\partial {\mu }^2}+\frac{{\partial }^2\mathrm{\Phi }}{\partial {\nu }^2}).$

Прочие дифференциальные операторы могут быть получены подстановкой коэффициентов Ламэ в общие формулы для ортогональных координат. Например, градиент скалярного поля $\mathrm{\Phi }(\mu ,\nu )$ записывается:

$\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{\Phi }=\frac{1}{H_{\mu }}\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial \mu }{𝐞}_{\mu }+\frac{1}{H_{\nu }}\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial \nu }{𝐞}_{\nu },$

где

${𝐞}_{\mu }=c(\mathrm{s}\mathrm{h}\mu \cos \nu ,\mathrm{c}\mathrm{h}\mu \sin \nu )$,

${𝐞}_{\nu }=c(-\mathrm{c}\mathrm{h}\mu \sin \nu ,\mathrm{s}\mathrm{h}\mu \cos \nu )$.

Другое определение

Иногда используется другое более геометрически интуитивное определение эллиптических координат $(\sigma ,\tau )$:

$\{\begin{array}{c}\sigma =\mathrm{c}\mathrm{h}\mu \\ \tau =\cos \nu \end{array}$

Таким образом, линии уровня $\sigma$ являются эллипсами, а линии уровня $\tau$ являются гиперболами. При этом

$\tau \in [-1,1],\sigma ⩾1.$

Координаты $(\sigma ,\tau )$ имеют простую связь с расстояниями до фокусов $F_1$ и $F_2$. Для любой точки на плоскости

$\{\begin{array}{c}{d}_1+d_2=2c\sigma \\ d_1-d_2=2c\tau \end{array}$

где $d_1,d_2$ — расстояния до фокусов $F_1,F_2$ соответственно.

Таким образом:

$\{\begin{array}{c}{d}_1=c(\sigma +\tau )\\ d_2=c(\sigma -\tau )\end{array}$

Напомним, что $F_1$ и $F_2$ находятся в точках $x=-c$ и $x=+c$ соответственно.

Недостатком этой системы координат является то, что она не отображается взаимно однозначно на декартовы координаты:

$\{\begin{array}{c}x=c\sigma \tau \\ y^2=c^2({\sigma }^2-1)(1-{\tau }^2)\end{array}$

Коэффициенты Ламэ

Коэффициенты Ламэ для альтернативных эллиптических координат $(\sigma ,\tau )$ равны:

$h_{\sigma }=c\sqrt{\frac{{\sigma }^2-{\tau }^2}{{\sigma }^2-1}};$

$h_{\tau }=c\sqrt{\frac{{\sigma }^2-{\tau }^2}{1-{\tau }^2}}.$

Элемент площади равен

$dA=c^2\frac{{\sigma }^2-{\tau }^2}{\sqrt{({\sigma }^2-1)(1-{\tau }^2)}}d\sigma d\tau ,$

а лапласиан равен

${\mathrm{\nabla }}^2\mathrm{\Phi }=\frac{1}{c^2({\sigma }^2-{\tau }^2)}[\sqrt{{\sigma }^2-1}\frac{\partial }{\partial \sigma }\left(\sqrt{{\sigma }^2-1}\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial \sigma }\right)+\sqrt{1-{\tau }^2}\frac{\partial }{\partial \tau }\left(\sqrt{1-{\tau }^2}\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial \tau }\right)].$

Прочие дифференциальные операторы могут быть получены подстановкой коэффициентов Ламэ в общие формулы для ортогональных координат.

Литература

• Шаблон:Книга

См. также

• Окружность Аполлония