Биполярная система координат

Биполярная система координат

Окружности Аполлония

Биполярные координаты — ортогональная система координат на плоскости, основанная на кругах Аполлония. Для перехода из биполярных координат в декартовы координаты, служат следующие формулы:

$\{\begin{array}{c}x=\frac{a\mathrm{s}\mathrm{h}\tau }{\mathrm{c}\mathrm{h}\tau -\cos \sigma }\\ y=\frac{a\sin \sigma }{\mathrm{c}\mathrm{h}\tau -\cos \sigma }\end{array}$

где $0⩽\sigma <\pi$, $-\mathrm{\infty }<\tau <\mathrm{\infty }$.

Коэффициенты Ламе:

$L_{\tau }=L_{\sigma }=\frac{a^2}{(\mathrm{c}\mathrm{h}\tau -\cos \sigma {)}^2}.$

Оператор Лапласа в биполярных координатах:

$\mathrm{\Delta }f=\frac{(\mathrm{c}\mathrm{h}\tau -\cos \sigma {)}^2}{a^2}(\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {\sigma }^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {\tau }^2}).$

В пространстве биполярные координаты обобщаются бисферическими.

См. также

• Тороидальные координаты
• Биангулярные координаты