Тороидальная система координат

Тороидальная система координат — ортогональная система координат в пространстве, координатными поверхностями которой являются торы, сферы и полуплоскости. Данная система координат может быть получена посредством вращения двумерной биполярной системы координат вокруг оси, равноудалённой от фокусов биполярной системы.

Определение

Связь с декартовыми координатами

Тороидальная система координат $(α, β, φ)$ определяется посредством формул перехода из этих координат в декартовы координаты:

x = \frac{c s h α \cos φ}{c h α - \cos β} y = \frac{c s h α \sin φ}{c h α - \cos β} z = \frac{c \sin β}{c h α - \cos β}

,

где $c > 0$ — масштабный множитель и радиус окружности $x^{2} + y^{2} = c^{2}, z = 0$ в которую вырождается тороидальная координатная поверхность $α = α_{0} = c o n s t$ при $α_{0} \to \infty$ . Пределы изменения координаты $0 ⩽ α < \infty$ . Обращаясь в бесконечность на указанной окружности, она стремится к нулю на бесконечности, а также в любой точке оси $x = 0, y = 0$ . Две другие координаты являются циклическими с периодом $2 π$ , например можно выбрать $- π < β ⩽ π, - π < φ ⩽ π$

Связь с цилиндрическими координатами

Формулы перехода из тороидальных координат $(α (z, r), β (z, r), φ)$ в цилиндрические координаты $(z, r, φ)$ :

r = \frac{c s h α}{c h α - \cos β} z = \frac{c \sin β}{c h α - \cos β} .

Для обратного преобразования при известных цилиндрических координатах точки $(z, r, φ)$ вычисляют значения $R_{\pm} = \sqrt{r^{2} + z^{2} \pm 2 c r}$ — максимальное и минимальное расстояние от данной точки до окружности $r = c, z = 0$ , через которые затем выражаются

κ^{2} (α) = 1 - e^{- 2 α} = \frac{4 r c}{R_{+}^{2}}, κ^{'} = e^{- α} = \frac{R_{-}}{R_{+}}, \sin β = \frac{2 z c}{R_{-} R_{+}}

Альтернативное определение

В русскоязычной литературе тороидальными могут называться и более простые координаты $(ρ, β, φ)$ , такие, что:

z = ρ s i n β r = c + ρ c o s β

(в англоязычной литературе такие координаты называют Шаблон:Lang-en, а не Шаблон:Lang-en). В этом случае циклические координаты $β, φ$ называют полоидальным и тороидальным углами соответственно. В приложении к расчётам тородальных плазменных конфигураций, таких как токамак, помимо этих терминов ещё используется термин „магнитная ось“ для окружности $r = c, z = 0$ , на которой $ρ = 0$ . Вблизи магнитной оси координаты $β$ для обеих систем приближенно совпадают, а координаты $ρ \equiv R_{-}$ и $u$ связываются между собой соотношением: $2 κ^{'} (u) \approx ρ / c$ . Могут также вводиться криволинейные потоковые координатыШаблон:Sfn, в которых координатными поверхностями являются топологически тороидальные магнитные поверхности (на которых давление плазмы постоянно, а нормальная компонента магнитного поля равна нулю. В этом случае являющаяся аналогом переменных $α$ или $ρ$ „потоковая“ координата служит только „меткой“ магнитной поверхности и её числовое значение несущественно.

Свойства

Координатные поверхности

$α = c o n s t$ — торы

(\sqrt{x^{2} + y^{2}} - c c t h α)^{2} + z^{2} = {(\frac{c}{s h α})}^{2}

,

$β = c o n s t$ — сферы

(z - c c t g β)^{2} + x^{2} + y^{2} = {(\frac{c}{\sin β})}^{2}

,

$φ = c o n s t$ — полуплоскости

\frac{x}{\cos φ} = \frac{y}{\sin φ}

.

Дифференциальные характеристики

Метрический тензор в тороидальных координатах имеет вид:

g_{i j} = (\begin{matrix} \frac{c^{2}}{(c h α - \cos β)^{2}} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{c^{2}}{(c h α - \cos β)^{2}} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{c^{2} {s h}^{2} α}{(c h α - \cos β)^{2}} \end{matrix}), g^{i j} = (\begin{matrix} \frac{(c h α - \cos β)^{2}}{c^{2}} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{(c h α - \cos β)^{2}}{c^{2}} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{(c h α - \cos β)^{2}}{c^{2} {s h}^{2} α} \end{matrix}) .

Он является диагональным, так как тороидальная система координат является ортогональной.

Квадрат линейного элемента:

d s^{2} = \frac{c^{2}}{(c h α - \cos β)^{2}} (d α^{2} + d β^{2} + {s h}^{2} α d φ^{2})

.

Квадрат элемента площади:

d S^{2} = \frac{c^{4}}{(c h α - \cos β)^{4}} ((d α d β)^{2} + {s h}^{2} α (d α d φ)^{2} + {s h}^{2} α (d β d φ)^{2})

.

Элемент объёма:

d V = \frac{c^{3} s h α}{(c h α - \cos β)^{3}} d α d β d φ

.

Коэффициенты Ламе:

h_{α} = h_{β} = \frac{c}{c h α - \cos β}, h_{φ} = \frac{c s h α}{c h α - \cos β}

.

Якобиан:

\frac{\partial (x, y, z)}{\partial (α, β, φ)} = \frac{c^{3} s h α}{(c h α - \cos β)^{3}}

.

Символы Кристоффеля второго рода:

Γ_{i j}^{1} = (\begin{matrix} 0 & - \frac{\sin β}{c h α - \cos β} & 0 \\ - \frac{\sin β}{c h α - \cos β} & \frac{s h α}{c h α - \cos β} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{s h α (c h α \cos β - 1)}{c h α - \cos β} \end{matrix}),

Γ_{i j}^{2} = (\begin{matrix} \frac{\sin β}{c h α - \cos β} & - \frac{s h α}{c h α - \cos β} & 0 \\ - \frac{s h α}{c h α - \cos β} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{{s h}^{2} α \sin β}{c h α - \cos β} \end{matrix}),

Γ_{i j}^{3} = (\begin{matrix} 0 & 0 & - \frac{1}{(c h α - \cos β) {s h}^{2} α} \\ 0 & 0 & - \frac{\sin β}{c h α - \cos β} \\ - \frac{1}{(c h α - \cos β) {s h}^{2} α} & - \frac{\sin β}{c h α - \cos β} & 0 \end{matrix}) .

Вид дифференциальных операторов в тороидальных координатах

Градиент скалярной функции в тороидальных координатах задается следующим выражением:

grad U (α, β, φ) = \frac{c h α - \cos β}{c} (\frac{\partial U}{\partial α} {\vec{e}}_{α} + \frac{\partial U}{\partial β} {\vec{e}}_{β} + \frac{1}{s h α} \frac{\partial U}{\partial φ} {\vec{e}}_{φ}) .

Дивергенция векторного поля:

div 𝐅 = \frac{(c h α - \cos β)^{2}}{c^{2} s h α} (\frac{\partial F_{α}}{\partial α} + \frac{\partial F_{β}}{\partial β} + s h α \frac{\partial F_{φ}}{\partial φ}) - \frac{c h α - \cos β}{c^{2} s h α} (F_{α} s h α - F_{β} \sin β)

Оператор Лапласа:

Δ u = \frac{(c h α - \cos β)^{3}}{c^{2} s h α} (\frac{\partial}{\partial α} (\frac{s h α}{c h α - \cos β} \frac{\partial u}{\partial α}) + \frac{\partial}{\partial β} (\frac{s h α}{c h α - \cos β} \frac{\partial u}{\partial β}) + \frac{1}{(c h α - \cos β) s h α} \frac{\partial^{2} u}{\partial φ^{2}})

Дифференциальные уравнения в тороидальных координатах

Уравнение Лапласа в тороидальных координатах имеет вид:

(\frac{\partial}{\partial α} (\frac{s h α}{c h α - \cos β} \frac{\partial u}{\partial α}) + \frac{\partial}{\partial β} (\frac{s h α}{c h α - \cos β} \frac{\partial u}{\partial β}) + \frac{1}{(c h α - \cos β) s h α} \frac{\partial^{2} u}{\partial φ^{2}}) = 0

Решение удобно искать в виде:

u = v \sqrt{2 c h α - 2 \cos β}

,

тогда уравнение для функции $v$ :

v_{α α} + v_{β β} + v_{α} c t h α + \frac{1}{4} v + \frac{1}{{s h}^{2} α} v_{φ φ} = 0

.

После чего можно разделить переменные:

v = A (α) B (β) Φ (φ)

.

В результате получится система:

{\begin{matrix} A^{″} + c t h α A^{'} + (\frac{1}{4} - \frac{k_{φ}^{2}}{{s h}^{2} α} - k_{β}^{2}) A = 0 \\ B^{″} + k_{β}^{2} B = 0 \\ Φ^{″} + k_{φ}^{2} Φ = 0 \end{matrix}

В случае уравнения Гельмгольца в тороидальных координатах переменные не делятся.

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

Шаблон:Книга

Ссылки

Шаблон:MathWorld

Шаблон:Навигационная таблица

Тороидальная система координат

Содержание

Определение

Связь с декартовыми координатами

Связь с цилиндрическими координатами

Альтернативное определение

Свойства

Координатные поверхности

Дифференциальные характеристики

Вид дифференциальных операторов в тороидальных координатах

Дифференциальные уравнения в тороидальных координатах

Примечания

Литература

Ссылки

Навигация

Тороидальная система координат

Определение

Связь с декартовыми координатами

Связь с цилиндрическими координатами

Альтернативное определение

Свойства

Координатные поверхности

Дифференциальные характеристики

Вид дифференциальных операторов в тороидальных координатах

Дифференциальные уравнения в тороидальных координатах

Примечания

Литература

Ссылки

Навигация

Поиск