4-ток

Шаблон:Электродинамика 4-ток, четырёхток в специальной и общей теории относительности — лоренц-ковариантный четырёхвектор, который объединяет плотность тока электрических зарядов (или 3-вектор плотности тока любых других частиц) и объёмную плотность заряда (или объёмную концентрацию частиц).

$J^{\mu }=(c\rho ,𝐣),$

где

$c$ — скорость света,

$\rho$ — скалярная плотность заряда,

$𝐣=\rho 𝐮$ — 3-вектор плотности тока,

$𝐮$ — 3-вектор скорости зарядов.

В специальной теории относительности локальное сохранение электрического заряда выражается уравнением непрерывности, которое означает равенство нулю инвариантной дивергенции 4-тока:

$D\cdot J={\partial }_{\mu }{J}^{\mu }=\frac{\partial \rho }{\partial t}+\mathrm{\nabla }\cdot 𝐣=0,$

где $D$ — 4-векторный оператор, называемый 4-градиентом и определяемый как $(\frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t},\mathrm{\nabla })$. Здесь использовано соглашение Эйнштейна о суммировании по повторяющимся индексам. Вышеприведённое уравнение можно короче записать как

$J^{\mu }{}_{,\mu }=0$

с обычным обозначением частной производной по данной координате как запятой перед соответствующим индексом.

В общей теории относительности уравнение непрерывности записывается так:

$J^{\mu }{}_{;\mu }=0,$

где точка с запятой перед индексом означает ковариантную производную по соответствующей координате.

Бикватернионное представление

Аналогом 4-тока в релятивистской бикватернионной алгебре служит бикватернион тока, имеющий в скалярно-векторном представлении следующий вид:

$J=4\pi (\rho ,𝐣).$

Используется система единиц, в которой скорость света $c=1$. В бикватернионном представлении уравнения Максвелла выражаются в виде:

$D𝐅=\bar{J},$

где $𝐅=𝐄+i𝐇$ — комплексная напряжённость электромагнитного поля (вектор Римана — Зильберштейна), $D$ — бикватернионный оператор градиента (аналог 4-градиента): $D=({\partial }_t,\mathrm{\nabla })$.

См. также

• Теорема Нётер.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• L. Silberstein. "Quaternionic Form of Relativity", Philos. Mag. S., 6, Vol. 23, № 137, pp. 790–809, 1912.