Вектор Римана — Зильберштейна

Вектор Римана-Зильберштейна (РЗ) - комплекснозначный трёхмерный вектор, описывающий электромагнитное поле:

$𝐅=𝐄+i𝐇,𝐅\in {ℂ}^3$,

где $𝐄,𝐇$ - напряжённости электрического и магнитного полей. $𝐄,𝐇\in {ℝ}^3$. Здесь используется система единиц, в которой скорость света $c=1$.

Вектор Римана-Зильберштейна как функция

Естественным языком описания поля с использованием вектора РЗ служит бикватернионный формализм, хотя возможны и другие формулировки. Вектор РЗ определён для данного поля в каждой точке пространства и времени, т.е. является функцией пространственно-временной переменной $Z$:

$𝐅=𝐅(Z),Z=(t,𝐫)$.

$Z$ - бикватернион, составленный из временной $t$ и пространственной $𝐫$ переменных.

Свободное поле

Свободное от зарядов и токов электромагнитное поле, представляющее собою свет, описывается изотропным вектором (нульвектором) Римана-Зильберштейна:

$𝐅=𝐄+i𝐇,{𝐅}^2=0$.

Вещественная и мнимая составляющие такого нульвектора, представляющие собой напряжённости электрического и магнитного полей, взаимно-ортогональны и равны по величине:

$𝐄\perp 𝐇,E=H$.

Плотность энергии-импульса поля

Бикватернион четырёхмерной плотности энергии-импульса электромагнитного поля выражается в виде квадратичной вещественнозначной (эрмитовой) формы от этого поля:

$K=(w,𝐒)=\frac{1}{2}𝐅{𝐅}^{*}$.

Уравнения Максвелла

Аналогом 4-тока в релятивистской бикватернионной алгебре служит бикватернион тока, имеющий в скалярно-векторном представлении следующий вид:

$J=4\pi (\rho ,𝐣).$

В бикватернионном представлении уравнения Максвелла выражаются в виде:

$D𝐅=\bar{J},$

где $𝐅=𝐄+i𝐇$ — vектор Римана — Зильберштейна, $D$ — бикватернионный оператор градиента (аналог 4-градиента): $D=({\partial }_t,\mathrm{\nabla })$.

История

Термин «вектор Римана-Зильберштейна» был, по-видимому, введён И.Бялиницким-Бирулей.