Электромагнитный тензор энергии-импульса

В релятивистской физике электромагнитный тензор энергии-импульса является вкладом в тензор энергии-импульса обусловленный электромагнитным полем. Тензор энергии-импульса описывает поток энергии и импульса в пространстве-времени. Электромагнитный тензор энергии-импульса содержит отрицательное значение классического тензора напряжений Максвелла, который регулирует электромагнитные взаимодействия.

Определение

В единицах СИ

В свободном пространстве и плоском пространстве-времени тензор электромагнитной энергии-импульса в единицах СИ равен

$T^{\mu \nu }=\frac{1}{{\mu }_0}[F^{\mu \alpha }{F}^{\nu }{}_{\alpha }-\frac{1}{4}{\eta }^{\mu \nu }{F}_{\alpha \beta }{F}^{\alpha \beta }].$

где $F^{\mu \nu }$ – электромагнитный тензор и где ${\eta }_{\mu \nu }$ есть метрический тензор Минковского метрической сигнатуры Шаблон:Nobr. При использовании метрики с сигнатурой Шаблон:Nobr выражение справа от знака равенства будет иметь противоположный знак.

Явно в матричной форме:

$T^{\mu \nu }=\left[\begin{array}{cccc}\frac{1}{2}({ϵ}_0{E}^2+\frac{1}{{\mu }_0}{B}^2)& \frac{1}{c}{S}_{\text{x}}& \frac{1}{c}{S}_{\text{y}}& \frac{1}{c}{S}_{\text{z}}\\ \frac{1}{c}{S}_{\text{x}}& -{\sigma }_{\text{xx}}& -{\sigma }_{\text{xy}}& -{\sigma }_{\text{xz}}\\ \frac{1}{c}{S}_{\text{y}}& -{\sigma }_{\text{yx}}& -{\sigma }_{\text{yy}}& -{\sigma }_{\text{yz}}\\ \frac{1}{c}{S}_{\text{z}}& -{\sigma }_{\text{zx}}& -{\sigma }_{\text{zy}}& -{\sigma }_{\text{zz}}\end{array}\right],$

где

$𝐒=\frac{1}{{\mu }_0}𝐄\times 𝐁$

— вектор Пойнтинга,

${\sigma }_{ij}={ϵ}_0{E}_i{E}_j+\frac{1}{{\mu }_0}{B}_i{B}_j-\frac{1}{2}({ϵ}_0{E}^2+\frac{1}{{\mu }_0}{B}^2){\delta }_{ij}$

– тензор напряжений Максвелла, c – скорость света. Таким образом, $T^{\mu \nu }$ выражается и измеряется в единицах давления СИ (паскалях).

Условные обозначения единиц СГС

Диэлектрическая проницаемость свободного пространства и магнитная проницаемость свободного пространства в единицах СГС-Гаусса равны

${ϵ}_0=\frac{1}{4\pi },{\mu }_0=4\pi ,$

тогда:

$T^{\mu \nu }=\frac{1}{4\pi }[F^{\mu \alpha }{F}^{\nu }{}_{\alpha }-\frac{1}{4}{\eta }^{\mu \nu }{F}_{\alpha \beta }{F}^{\alpha \beta }].$

и в явной матричной форме:

$T^{\mu \nu }=\left[\begin{array}{cccc}\frac{1}{8\pi }(E^2+B^2)& \frac{1}{c}{S}_{\text{x}}& \frac{1}{c}{S}_{\text{y}}& \frac{1}{c}{S}_{\text{z}}\\ \frac{1}{c}{S}_{\text{x}}& -{\sigma }_{\text{xx}}& -{\sigma }_{\text{xy}}& -{\sigma }_{\text{xz}}\\ \frac{1}{c}{S}_{\text{y}}& -{\sigma }_{\text{yx}}& -{\sigma }_{\text{yy}}& -{\sigma }_{\text{yz}}\\ \frac{1}{c}{S}_{\text{z}}& -{\sigma }_{\text{zx}}& -{\sigma }_{\text{zy}}& -{\sigma }_{\text{zz}}\end{array}\right],$

где вектор Пойнтинга принимает вид:

$𝐒=\frac{c}{4\pi }𝐄\times 𝐁.$

Тензор энергии-импульса для электромагнитного поля в диэлектрической среде менее изучен и является предметом неразрешенного спора Абрахама-Минковского.

Элемент $T^{\mu \nu }$ тензора энергии-импульса представляет собой поток µ-й компоненты четырёхимпульса электромагнитного поля, $P^{\mu }$, проходящий через гиперплоскость ($x^{\nu }$ является постоянным). Он представляет собой вклад электромагнетизма в источник гравитационного поля (искривление пространства-времени) в общей теории относительности.

Алгебраические свойства

Электромагнитный тензор энергии-импульса обладает несколькими алгебраическими свойствами:

• Он является симметричным тензором:$$T^{\mu \nu }=T^{\nu \mu }$$

• Тензор $T^{\nu }{}_{\alpha }$ бесследен:$$T^{\alpha }{}_{\alpha }=0$$

• Плотность энергии положительно-определённая:$$T^{00}\ge 0$$

Симметрия тензора такая же, как у общего тензора энергии-импульса в общей теории относительности. След тензора энергии-импульса есть скаляр Лоренца; электромагнитное поле (и, в частности, электромагнитные волны) не имеет лоренц-инвариантной энергетической шкалы, поэтому его тензор энергии-импульса должен иметь исчезающий след. Эта бесследность в конечном счёте связана с безмассовостью фотона .

Законы сохранения

Электромагнитный тензор энергии-импульса позволяет компактно записать законы сохранения линейного количества движения и энергии в электромагнетизме. Дивергенция тензора энергии-импульса:

${\partial }_{\nu }{T}^{\mu \nu }+{\eta }^{\mu \rho }{f}_{\rho }=0,$

где $f_{\rho }$ - (4D) сила Лоренца на единицу объема вещества .

Это уравнение эквивалентно следующим трёхмерным законам сохранения

$\begin{array}{cc}\frac{\partial u_{\mathrm{e}\mathrm{m}}}{\partial t}+\mathrm{\nabla }\cdot 𝐒+𝐉\cdot 𝐄& =0,\\ \frac{\partial {𝐩}_{\mathrm{e}\mathrm{m}}}{\partial t}-\mathrm{\nabla }\cdot \sigma +\rho 𝐄+𝐉\times 𝐁& =0\iff {ϵ}_0{\mu }_0\frac{\partial 𝐒}{\partial t}-\mathrm{\nabla }\cdot \mathit{\sigma }+𝐟=0,\end{array}$

соответственно, описывая поток плотности электромагнитной энергии

$u_{\mathrm{e}\mathrm{m}}=\frac{{ϵ}_0}{2}{E}^2+\frac{1}{2{\mu }_0}{B}^2$

и плотность электромагнитного импульса

${𝐩}_{\mathrm{e}\mathrm{m}}=\frac{𝐒}{c^2},$

где J — плотность электрического тока, ρ — плотность электрического заряда, $𝐟$ - плотность силы Лоренца.

Смотрите также

• Исчисление Риччи
• Ковариантная формулировка классического электромагнетизма
• Математические описания электромагнитного поля
• Уравнения Максвелла
• Уравнения Максвелла в искривлённом пространстве-времени
• Общая теория относительности
• Уравнения поля Эйнштейна
• Магнитогидродинамика
• Векторное исчисление