Звезда Ходжа

Звезда́ Хо́джа — важный линейный оператор из пространства q-векторов в пространство (n − q)-форм. Метрический тензор задаёт канонический изоморфизм между пространствами q-форм и q-векторов, поэтому обычно звездой Ходжа называют оператор из пространства дифференциальных форм размерности q в пространство форм размерности n − q.

$*:{\mathrm{\Lambda }}^q(T^{*}M)\to {\mathrm{\Lambda }}^{n-q}(T^{*}M)$

Этот оператор был введён Вильямом Ходжем.

Определение

Вспомогательные определения

Определим форму объёма

$\mathrm{\Omega }=f(X)d{X}^0\wedge \dots \wedge d{X}^{n-1}$

${\mathrm{\Omega }}_{M_1\dots M_n}=f(X){\epsilon }_{M_1\dots M_n}$

где $f(X):M\to ℝ$ — неотрицательный скаляр на многообразии $M$, а ${\epsilon }_{M_1\dots M_n}$ — полностью антисимметричный символ. ${\epsilon }_{0\dots n-1}=+1$. Даже в отсутствие метрики, если $f(X)>0$, можно определить контравариантные компоненты формы объёма.

$\check{\mathrm{\Omega }}=\frac{1}{f(X)}\frac{\partial }{\partial X^0}\wedge \cdots \wedge \frac{\partial }{\partial X^{n-1}}$

${\check{\mathrm{\Omega }}}^{M_1\dots M_n}=f^{-1}(X){\epsilon }^{M_1\dots M_n}$

здесь антисимметричный символ ${\epsilon }^{M_1\dots M_n}$ совпадает ${\epsilon }_{M_1\dots M_n}$.

В присутствии метрики $\mathrm{\Omega }$ с поднятыми индексами может отличаться от $\check{\mathrm{\Omega }}$ на знак: $\mathrm{\Omega }=\sigma \check{\mathrm{\Omega }}$. Здесь и далее $\sigma =\mathrm{sgn}\det (g_{mk})$

Введём операцию антисимметризации:

$A_{[m_1\dots m_q]}=\frac{1}{q!}\sum _{\sigma (m_1\dots m_q)}(-1{)}^{\mathrm{sgn}(m_1\dots m_q)}{A}_{\sigma (m_1\dots m_q)}$. Суммирование ведётся по всем перестановкам $\sigma (m_1\dots m_q)$ индексов, заключённых в квадратные скобки, с учётом их чётности $\mathrm{sgn}(\sigma )$. Аналогично определяется антисимметризация верхних индексов; антисимметризовать можно только по группе индексов одного типа. Примеры: $A_{k[lm]}=\frac{1}{2!}(A_{klm}-A_{kml})$; $A_k^{[l}{B}_p^{m]}=\frac{1}{2!}(A_k^l{B}_p^m-A_k^m{B}_p^l)$.

Разберёмся теперь с операцией свёртки. При свёртке набора антисимметричных индексов удобно ввести следующее обозначение:

$A^{A\dots \lfloor K_1\dots K_k\rfloor B\dots }{}_{C\dots \lfloor K_1\dots K_k\rfloor D\dots }=\frac{1}{k!}{A}^{A\dots K_1\dots K_{k}B\dots }{}_{C\dots K_1\dots K_{k}D\dots }$.

Если тензор антисимметричен как по верхним, так и по нижним сворачиваемым индексам, можно вести суммирование по индексам, заключённым в скобки $\lfloor \rfloor$ только по упорядоченным наборам не деля на $k!$, это связано с тем, что разные наборы индексов $K_1\dots K_k$, отличающиеся лишь порядком индексов дают одинаковый вклад в сумму.

Определим теперь тензоры:

$(A,B{)}_{M_{k+1}\dots M_q}^{(k)}{}^{N_{k+1}\dots N_p}=A_{\lfloor K_1\dots K_k\rfloor M_{k+1}\dots M_q}{B}^{\lfloor K_1\dots K_k\rfloor N_{k+1}\dots N_p}$

$(A,B{)}_{M_1\dots M_{q-k}}^{\underset{\_}{(k)}}{}^{N_1\dots N_{p-k}}=A_{M_1\dots M_{q-k}\lfloor K_1\dots K_k\rfloor }{B}^{N_1\dots N_{p-k}\lfloor K_1\dots K_k\rfloor }$

Индекс (k) указывает число индексов, по которым проводилась свёртка. Там где это не может привести к неоднозначности, (k) будет опускаться. Вышеприведённые тензоры могут отличаться (а могут и не отличаться) только на знак.

Общее определение звезды Ходжа

Используя форму объёма $\mathrm{\Omega }$ и поливектор $\check{\mathrm{\Omega }}$, можно ввести операцию $*$, превращающую поливектор $B$ степени $p$ в дифференциальную форму $*B$ степени $n-p$, и обратную операцию ${*}^{-1}$, превращающую форму $A$ степени $q$ в поливектор ${*}^{-1}A$ степени $n-q$

$*B=(\mathrm{\Omega },B{)}^{(p)}$

${*}^{-1}A=(A,\check{\mathrm{\Omega }}{)}^{\underset{\_}{(q)}}$

Эта операция называется звездой Ходжа или дуальностью Ходжа. В компонентах она выглядит следующим образом:

$(*B{)}_{m_{q+1}\dots m_n}=\frac{f(X)}{q!}{B}^{m_1\dots m_q}{\epsilon }_{m_1\dots m_n}$

Поскольку ${*}^{-1}*B=B$ и $*{*}^{-1}A=A$, то мы установили взаимно-однозначное соответствие между дифференциальными формами степени q и поливекторами степени n-q

Помимо операторов $*$ и ${*}^{-1}$ введём пару операторов: $\check{*}$ и ${\check{*}}^{-1}$, отличающихся от них знаком.

$\check{*}B=(\mathrm{\Omega },B{)}^{\underset{\_}{(p)}}$

${\check{*}}^{-1}A=(A,\check{\mathrm{\Omega }}{)}^{(q)}$

Звезда Ходжа в присутствии метрики

Пусть на нашем многообразии размерности n задана метрика $g_{mk}$. Обозначим $g=\det (g_{mk})$.

Элементом объёма или формой объёма порождённой метрикой $g_{mk}$ называется форма $\mathrm{\Omega }=\sqrt{|g|}d{X}^0\wedge \dots \wedge d{X}^{n-1}=\sqrt{|g|}d{X}^n$ В компонентах:

${\mathrm{\Omega }}_{m_1\dots m_n}=\sqrt{|g|}{\epsilon }_{m_1\dots m_n}$

${\mathrm{\Omega }}^{m_1\dots m_n}=\frac{\sqrt{|g|}}{g}{\epsilon }^{m_1\dots m_n}=\frac{\mathrm{sgn}(g)}{\sqrt{|g|}}{\epsilon }^{m_1\dots m_n}$

Поскольку у нас есть метрика, мы можем устроить канонический изоморфизм между поливекторами и дифференциальными формами:

$A_{m_1\dots m_n}=A^{l_1\dots l_n}{g}_{m_1{l}_1}\cdots g_{m_n{l}_n}$

Поэтому мы можем установить взаимно однозначное соответствие между q-формами и (n-q)-формами. $(*A{)}_{m_{q+1}\dots m_n}=\frac{1}{q!}{\mathrm{\Omega }}_{m_1\dots m_n}{A}_{l_1\dots l_q}{g}^{m_1{l}_1}\cdots g^{m_q{l}_q}$

Дополнительные операторы

На поливекторах можно ввести оператор взятия дивергенции, понижающий степень поливектора на 1:

$\delta ={*}^{-1}d*$

$(\delta A{)}^{M_1\dots M_{q-1}}=\frac{1}{f(X)}{\partial }_{M_q}(f(X)A^{M_1\dots M_q})$

В присутствие метрики оператор дивергенции $\delta$ выражается через оператор ковариантной производной $\mathrm{\nabla }$, определённый с помощью согласованной с метрикой симметричной связности:

$(\delta A{)}^{M_1\dots M_{q-1}}=(\mathrm{\nabla },A{)}^{\underset{\_}{(1)}{M}_1\dots M_{q-1}}={\mathrm{\nabla }}_{M_q}{A}^{M_1\dots M_q}=\frac{1}{\sqrt{|g|}}{\partial }_{M_q}(\sqrt{|g|}{A}^{M_1\dots M_q})$

Иногда операцию $d$ (внешнюю производную) называют градиентом дифференциальных форм, а операцию $\delta$ — дивергенцией. Для 1-формы операция $\delta$ задаёт обычную дивергенцию (в присутствии метрики, дифференциальные формы и поливектора отождествляются с помощью канонического изоморфизма)

Лапласиан $\mathrm{\Delta }$ от $q$-формы $A$ определяется формулой:

$\mathrm{\Delta }A=(-1{)}^q(\delta d+d\delta )A$

Для скаляра (0-формы) лапласиан — оператор Лапласа — Бельтрами:

$\mathrm{\Delta }\phi ={\mathrm{\nabla }}_M{\mathrm{\nabla }}^M\phi =\frac{1}{\sqrt{|g|}}{\partial }_M\sqrt{|g|}{g}^{MN}{\partial }_N\phi$

Для скаляра $\mathrm{\Delta }={\mathrm{\nabla }}_M{\mathrm{\nabla }}^M$. Если $q>0$, то по формуле Бохнера для произвольной метрики в $\mathrm{\Delta }$ появляются дополнительные члены линейные по кривизне. Так в случае $q=1$

$(\mathrm{\Delta }A{)}_K={\mathrm{\nabla }}_M{\mathrm{\nabla }}^M{A}_K-R_K{}^M{A}_M$

где $R_K{}^M$ — тензор Риччи, построенный по симметричной связности, согласованной с метрикой.

Источники

• Лекции М. Г. Иванова по курсу «Геометрические методы в классической теории поля». http://theorphys.mipt.ru/courses/geomm.html