Инвариантная производная по времени

Инвариантная производная по времени — это производная по времени инерциальной системы. В самой инерциальной системе инвариантная производная по времени есть просто обычная производная по времени: $\frac{\partial }{\partial t}$. В неинерциальной системе инвариантная производная по времени состоит из суммы обычной производной по времени $\frac{\partial }{\partial t}$ и дополнительных слагаемых, связанных со скоростью $V^i$ движения неинерциальной системы относительно инерциальной. Поле скоростей может быть неоднородным $V^i(x)$ и в общем случае зависеть от времени $V^i(x,t)$. Так, например, в неинерциальной системе, связанной с неравномерно вращающимся колесом, поле скоростей неоднородно в пространстве и во времени. Поскольку поле скоростей $V^i(x,t)$ есть относительная скорость движения координатных систем, которые не являются материальными объектами, то эта скорость по величине может превышать скорость света и даже быть бесконечной. Никакого противоречия со специальной теорией относительности (СТО) при этом, конечно же, не возникает. Например, поле скоростей неинерциальной системы, связанной с вращающимся колесом, на достаточно большом расстоянии от центра вращения по величине превышает скорость света и стремится к бесконечности при дальнейшем удалении от центра.

Обозначим посредством $\overline{x}$ координаты в инерциальной системе, а $x(\overline{x},t)$ — координаты в неинерциальной. Тогда скорость движения неинерциальной системы относительно инерциальной есть

$V^i(x,t)=\frac{\partial x^i(\overline{x},t)}{\partial t}$

Инвариантная производная по времени от скаляра $F(x,t)$ в неинерциальной системе есть:

$D_{t}F(x,t)=\frac{\partial F}{\partial t}+\frac{\partial F}{\partial x^i}\frac{\partial x^i}{\partial t}=\frac{\partial F}{\partial t}+V^i(x,t)\frac{\partial F}{\partial x^i}$.

Инвариантная производная по времени от тензоров имеет дополнительные слагаемые, связанные с преобразованием их компонент при переходе из одной системы координат в другую $\overline{x}\to x(\overline{x},t)$. Так, например, для векторов и ковекторов имеем:

$A^i=\frac{\partial x^i}{\partial {\overline{x}}^j}{\overline{A}}^j$;

$A_i=\frac{\partial {\overline{x}}^j}{\partial x^i}{\overline{A}}_j$.

Следовательно,

$D_t{A}^i=\frac{\partial A^i}{\partial t}+V^j\frac{\partial A^i}{\partial x^j}-A^j\frac{\partial V^i}{\partial x^j}$;

$D_t{A}_i=\frac{\partial A_i}{\partial t}+V^j\frac{\partial A_i}{\partial x^j}+A_j\frac{\partial V^j}{\partial x^i}$.

Аналогично вычисляются инвариантные производные по времени от тензоров высших рангов.

Важным свойством инвариантной производной по времени является то, что все производные по пространственным координатам $\frac{\partial }{\partial x^i}$ в правых частях приведённых выше выражений можно заменить на ковариантные производные, согласованные с метрикой пространства $d{l}^2={\gamma }_{ij}d{x}^{i}d{x}^j$, то есть

$D_t{A}^i={\partial }_t{A}^i+V^j{A}_{;j}^i-A^j{V}_{;j}^i$,

$D_t{A}_i={\partial }_t{A}_i+V^j{A}_{i;j}+A_j{V}_{;i}^j$,

при этом слагаемые со связностями Кристоффеля взаимно сокращаются.

Рассмотренные выше «добавки» к обычным производным по времени являются Ли — вариациями (или, иначе, производными Ли) тензорных полей вдоль векторного поля $V^i$, которые были изучены выдающимся норвежским математиком Софусом Ли (1842—1899).

Всем известные центробежное и кориолисово ускорения, появляющиеся во вращающейся неинерциальной системе, — дополнительные слагаемые в инвариантной производной по времени от вектора скорости движущейся материальной точки.

Литература

• Д. Е. Бурланков, Динамика пространства. Монография 2005 г. 179 стр.