Псевдохарактер

Псевдохарактер — вещественнозначная функция на группе, в определённом смысле близкая к гомоморфизму.

Понятие псевдохарактера было введено в докладе А. И. Штерна на Ломоносовских чтениях в МГУ в 1983 годуШаблон:Sfn. Оно находит применения в комбинаторной теории групп, в теории групп диффеоморфизмов, в теории Шаблон:Нп5, в симплектической геометрии и в теории представлений группШаблон:Sfn.

Определение

Функция $f:G\to ℝ$ на группе $G$ называется квазихарактеромШаблон:Sfn (или квазиморфизмом), если существует такая константа $D\ge 0$, что для любых $x,y\in G$ выполняется неравенство $|f(xy)-f(x)-f(y)|\le D$. Или, что то же самое,

$f(x)+f(y)-D\le f(xy)\le f(x)+f(y)+D$.

Квазихарактер $f$ называется псевдохарактером, если он обладает свойством однородности: для любых $x\in G$ и $n\in \mathbb{Z}$ выполняется

$f(x^n)=nf(x)$.

Или, иными словами, его ограничение на произвольную циклическую подгруппу является гомоморфизмом.

Вспомогательные определения

Дефектом квазихарактера $f$ называется супремум

$D_f:=\underset{x,y\in G}{\sup }|f(xy)-f(x)-f(y)|$.

Дефект равен нулю тогда и только тогда, когда квазихарактер является гомоморфизмом. В этом случае квазихарактер называется характеромШаблон:Sfn.

Два квазихарактера $f$ и $g$ называются асимптотически эквивалентными, если следующий супремум конечен:

$\Vert f-g{\Vert }_{\mathrm{\infty }}:=\underset{x\in G}{\sup }|f(x)-g(x)|$.

Например, квазихарактер асимптотически эквивалентен нулевому гомоморфизму в том и только в том случае, если он ограничен. Квазиморфизм называется тривиальным, если он асимптотически эквивалентен гомоморфизму.

Пространство псевдохарактеров

Множество всех квазихарактеров на группе $G$ обозначается символом $𝒳(G)$. Оно является подпространством вещественного векторного пространства всех функционалов $G\to ℝ$, рассматриваемых с операциями поточечного сложения и умножения на скаляр. Иными словами, определяющее свойство квазихарактера сохраняется при сложении и умножении на скаляры.

Дефект является полунормой на пространстве $𝒳(G)$Шаблон:Sfn. Таким образом, данное пространство является полунормированным.

Множество всех псевдохарактеров на группе $G$ является векторным подпространством пространства $𝒳(G)$ и обозначается символом $𝒫𝒳(G)$. Оно содержит в качестве векторного подпространства группу гомоморфизмов $\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(G,ℝ)$.

Усреднение квазихарактеров

Каждый квазихарактер $f:G\to ℝ$ можно следующим образом превратить в псевдохарактер. Положим

$\bar{f}(x):=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{f(x^n)}{n}$.

Тогда данный предел всегда существует, а функция $\bar{f}:G\to ℝ$ является псевдохарактером, дефект которого не превосходит $4D_f$, и выполняется неравенство $\Vert f-\bar{f}{\Vert }_{\mathrm{\infty }}\le D_f$Шаблон:Sfn. Более того, функция $\bar{f}$ является единственным псевдохарактером, асимптотически эквивалентным квазихарактеру $f$Шаблон:Sfn. Отображение $f\mapsto \bar{f}$, ставящее в соответствие квазихарактеру связанный с ним псевдохарактер, линейно, непрерывно (относительно определённой выше полунормы), является проектором $𝒳(G)\to 𝒫𝒳(G)$ и называется усреднениемШаблон:Sfn. В частности, если квазихарактер $f$ является псевдохарактером, то $\bar{f}=f$.

С помощью данного проектора пространство псевдохарактеров $𝒫𝒳(G)$ возможно отождествить с множеством классов асимптотической эквивалентности квазихарактеров. Или, что то же самое, с факторпространством пространства $𝒳(G)$ по подпространству квазихарактеров, асимптотически эквивалентных нулевому квазихарактеру (или, иными словами, по подпространству ограниченных квазихарактеров).

Пространство нетривиальных псевдохарактеров

Обозначим символами

$\widehat{𝒳}(G):=𝒳(G)/\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(G,ℝ)$

и

$\widehat{𝒫𝒳}(G):=𝒫𝒳(G)/\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(G,ℝ),$

соответственно, факторпространства пространств всех квазихарактеров и всех псевдохарактеров по подпространству всех характеров. Полунорма дефекта индуцирует норму на данные пространства. Полученные нормированные пространства являются банаховымиШаблон:Sfn.

Свойства

Значения произвольного псевдохарактера на сопряженных элементах группы совпадают: $f(yx{y}^{-1})=f(x)$ для любых $x,y\in G$. Таким образом, каждый псевдохарактер является Шаблон:Нп5, то есть задаёт функцию на множестве классов сопряженности группы.

Если элементы $x,y\in G$ коммутируют, то $f(xy)=f(x)+f(y)$. Таким образом, ограничение любого псевдохарактера на произвольную коммутативную подгруппу является гомоморфизмом. В частности, в случае коммутативных групп понятия псевдохарактера и гомоморфизма совпадают.

Примеры

Обозначим символом ${\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{o}}_{+}(ℝ)$ группу сохраняющих ориентацию гомеоморфизмов вещественной прямой, а символом ${\widetilde{\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{o}}}_{+}(S^1)$ — её подгруппу, состоящую из гомеоморфизмов $f:ℝ\to ℝ$, удовлетворяющих условию $f(x+1)=f(x)+1$ для любого $x\in ℝ$, то есть коммутирующих с единичным сдвигом $x\mapsto x+1$. Число переноса представляет собой псевдохарактер на группе ${\widetilde{\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{o}}}_{+}(S^1)$, дефект которого не превосходит единицыШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Символ Радемахера представляет собой квазихарактер на специальной линейной группе ${\mathrm{S}\mathrm{L}}_2(\mathbb{Z})$. Соответствующий ему псевдохарактер называется псевдохарактером РадемахераШаблон:SfnШаблон:Sfn. Аналогичная конструкция рассматривается на модулярной группе ${\mathrm{P}\mathrm{S}\mathrm{L}}_2(\mathbb{Z})$.

Антье Деорнуа представляет собой квазихарактер с единичным дефектом на группе кос $B_n$. Соответствующий ему псевдохарактер называется закрученностьюШаблон:Sfn.

Считающие квазихарактеры

Пусть $F(S)$ — свободная группа с базисом $S$. С каждым приведённым словом $w\in F(S)$ следующим образом свяжем пару квазихарактеров на $F(S)$.

Для $x\in F(S)$ положим $C_w(x)$ равным количеству вхождений слова $w$ в приведённое слово-представителя элемента $x$. Например, при $S=\{a\}$ имеем $C_{aa}(aaaa)=3$. Далее, положим $c_w(x)$ равным наибольшему значению количества непересекающихся вхождений слова $w$ в приведённое слово-представителя элемента $x$. Например, $c_{aa}(aaaa)=2$.

Определим $H_w(x):=C_w(x)-C_{w^{-1}}(x)$ и $h_w(x):=c_w(x)-c_{w^{-1}}(x)$. Функции $H_w$ и $h_w$ являются квазихарактерами на свободной группе $F(S)$ и называются, соответственно, большой считающей (от Шаблон:Lang-en) и малой считающей (от Шаблон:Lang-en). Большие считающие квазихарактеры были введены Шаблон:Нп5 и иногда называются функциями Брукса, а малые считающие квазихарактеры были введены Шаблон:Нп5 и Шаблон:Нп5Шаблон:Sfn.

Например, при $S=\{x_1,\dots ,x_n\}$ и $i\in \{1,2,\dots ,n\}$ имеем $H_{x_i}=h_{x_i}$, причем квазихарактеры $H_{x_1},H_{x_2},\dots ,H_{x_n}$ являются гомоморфизмами и порождают группу гомоморфизмов $\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(F(S),\mathbb{Z})$Шаблон:Sfn.

Дефект большого считающего квазихарактера $H_w$ не превосходит числа $3\cdot (|w|-1)$, где символ $|w|$ обозначает количество букв в слове $w$. Данная оценка точна, как показывает пример $w=abababababa$. Однако дефект малого считающего квазихарактера $h_w$ всегда не превосходит трёх. Более того, он равен нулю только если $|w|=1$, равен двойке только если $w$ имеет вид $w_1{w}_2{w}_1^{-1}$, $w_1{w}_2{w}_1^{-1}{w}_3$ или $w_1{w}_2{w}_3{w}_2^{-1}$, а иначе равен единицеШаблон:Sfn.

Литература

• Шаблон:Книга

Ссылки

• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья