Факторпространство по подпространству

Факторпространство по подпространству в линейной алгебре — факторпространство, определяемое для векторного пространства $(X,𝔽,+,\cdot )$ по его подпространству $(X_0,𝔽,+,\cdot )$ как пространство над фактормножеством $X$ по отношению эквивалентности $x\sim y\iff x-y\in X_0$. Обозначение — $X/X_0$.

Факторотображение

Отображение $\phi :X\mapsto X/X_0$, сопоставляющее каждому элементу из $X$ класс эквивалентности, в котором он лежит, называется факторотображением.

Факторотображение даёт возможность определить на $X/X_0$ векторную структуру, задав операции $⟨+,\cdot ⟩$ следующим образом:

• $x_1+x_2=\phi ({\phi }^{-1}(x_1)+{\phi }^{-1}(x_2))\mathrm{\forall }{x}_1,x_2\in X/X_0;$
• $\lambda x=\phi (\lambda {\phi }^{-1}(x))\mathrm{\forall }x\in X/X_0,\lambda \in 𝔽.$

Факторотображение на таком пространстве линейно.

Свойства факторотображения:

1. $\phi \in ℒ(X,X/X_0);$
2. $\mathrm{i}\mathrm{m}\phi =X/X_0$, то есть $\phi$ — эпиморфизм;
3. $\ker \phi =X_0$, что эквивалентно ${\phi }^{-1}(0)=X_0$.

Связанные определения

Понятие факторпространства по подпространству позволяет определить:

• кообраз линейного отображения $T\in ℒ(X,Y):\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{m}T=X/\ker T$;
• коядро линейного отображения $T\in ℒ(X,Y):\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}T=Y/\mathrm{i}\mathrm{m}T$, при условии что $\mathrm{i}\mathrm{m}T\in \mathrm{L}\mathrm{a}\mathrm{t}(Y)$.
• коразмерность $X_0\in \mathrm{L}\mathrm{a}\mathrm{t}(X):\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}{X}_0=\dim X/X_0$;
• Фактор-полунорма в факторпространстве, порождённая полунормой $p:\mathrm{\forall }w\in X/X_0{p}_{X/X_0}(w)=\inf p({\phi }^{-1}(w))$.

Сопутствующие теоремы

• Существование снижения на кообраз:

$\mathrm{\forall }T\in ℒ(X,Y)\mathrm{\exists }!T_c\in ℒ(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{m}T,Y):T=T_c\phi ,\ker T_c=\{0\}.$

• Теоремы об изоморфизме:

$\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{m}T\simeq \mathrm{i}\mathrm{m}T$

$X_0,X_1\in \mathrm{L}\mathrm{a}\mathrm{t}(X):X=X_0\oplus X_1\Rightarrow X/X_0\simeq X_1;X/X_1\simeq X_0$

• Теорема о непрерывности факторотображения:

$\phi \in ℬ(X,X/X_0).$

• ${\phi }^{-1}(\ker p_{X/X_0})=\mathrm{c}\mathrm{l}{X}_0.$
• $(X/X_0,p_{X/X_0})$ — хаусдорфово $\iff X_0=\mathrm{c}\mathrm{l}{X}_0$.

Хаусдорфовость полунормированного пространства, как известно, позволяетШаблон:Уточнить определить на нём норму, а по норме и метрику.

• Признак полноты $X:X_0,X/X_0$ — полны $\Rightarrow X$ — полно.
• $X_0$ — гиперплоскость $\iff \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}{X}_0=1$.
• Неравенства для подчинённой фактор-полунормы:

$\mathrm{\forall }w\in X/X_0,\mathrm{\forall }x\in {\phi }^{-1}(w)p_{X/X_0}(w)⩽p(x);$

$\mathrm{\forall }w\in X/X_0,\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }x\in {\phi }^{-1}(w):p(x)⩽(1+\epsilon )p_{X/X_0}(w).$

• Лемма о снежинке.

Литература

• Шаблон:Книга.